6. Forcing und Boolesche Algebren

 Wir diskutieren nun noch eine von Solovay und Scott entwickelte Version der Erzwingungsmethode, die mit Booleschen Algebren anstelle von partiellen Ordnungen operiert. Nach einem knappen Überblick über die Grundlagen der Theorie der Booleschen Algebren besprechen wir, im Rahmen der Vervollständigung einer Booleschen Algebra, wie wir von einer partiellen Ordnung 〈 P, < 〉 zu einer vollständigen Booleschen Algebra B gelangen können, in die die Ordnung P dicht eingebettet ist. Dieser Zusammenhang verbindet die beiden Zugänge zur Forcing-Theorie. Anschließend führen wir Boolesche Modelle ein und zeigen, wie wir mit ihrer Hilfe relative Konsistenzresultate gewinnen können. Methodisch sind hier die Booleschen Algebren sogar klarer als die partiellen Ordnungen. Insgesamt ergänzen sich die beiden Ansätze und ermöglichen ein vertieftes Verständnis der Erzwingungsmethode.

Boolesche Algebren

 Zur Verdeutlichung schreiben wir zuweilen auch 0_B, 1_B, +_B, usw.

 Wir identifizieren häufig eine Boolesche Algebra 〈 B, +, ·, −, 0, 1 〉 mit ihrem Träger B. Die Komplementbildung „−“ bindet stärker als die Multiplikation und diese wiederum stärker als die Addition, und wir unterdrücken dem entsprechend Klammern. Wir schreiben weiter a − b für a · − b.

 Die Operationen +, ·, − erfüllen alle Rechengesetze der mengentheoretischen Operationen ∪, ∩, −, die wiederum den logischen Operationen ∨, ∧, ¬ entsprechen. Wir werden unten zeigen, dass jede Boolesche Algebra isomorph ist zu einer Booleschen Algebra, bei der +, ·, −, 0, 1 durch ∪, ∩, −, ∅, M für eine gewisse Menge M interpretiert werden. Damit lassen sich die Rechenregeln in Booleschen Algebren aus der Mengenlehre importieren und müssen nicht alle erneut bewiesen werden. Der Leser, der Vergnügen daran hat, Regeln aus den definierenden Struktureigenschaften abzuleiten, kann die folgende Übung bearbeiten.

 Eine nützliche zusätzliche zweistellige Operation auf einer Booleschen Algebra ist:

 Die Definition der Operation ⇒ ist motiviert durch die Äquivalenz:

φ  →  ψ  gdw  ¬ φ  ∨  ψ.

Die partielle Ordnung einer Booleschen Algebra

 Jede Boolesche Algebra bringt eine natürliche partielle Ordnung mit sich:

 Wir schreiben wieder ≤_B statt ≤, wenn dies nötig ist.

 Man zeigt leicht, dass ≤ eine partielle Ordnung auf B mit kleinsten Element 0 und größtem Element 1 ist. Für alle Elemente a, b einer Booleschen Algebra gilt: a  ≤  b  gdw  a + b = b  gdw  a ⇒ b  =  1.

 Die partielle Ordnung P = 〈 B − { 0 }, ≤ 〉 der positiven Elemente von B ist separativ, denn für alle a, b  ∈  P mit non(a ≤ b) ist a − b ≤ a und inkompatibel mit b in P.

Unteralgebren, Einbettungen, Isomorphismen

 Diese Begriffe sind wie üblich definiert. Wir geben die Definitionen der Vollständigkeit halber an.

 Entsprechend definieren wir:

Filter und Ideale auf Booleschen Algebren

 Für Boolesche Algebren liest sich der mengentheoretische Filter und Idealbegriff wie folgt:

 Ist B = 〈 ℘(M), ∪, ∩, −, ∅, M 〉, so fallen die neuen Begriffe mit den alten zusammen (wobei man hier auch oft von Filtern und Idealen auf M spricht anstatt auf ℘(M)). Diese Mengenalgebren betrachten wir gleich noch genauer.

 Für alle a  ∈  B − { 1 } ist I_a = { b  ∈  B | b ≤ a } ein Ideal auf B und entsprechend ist F_a = { b  ∈  B | a ≤ b } für alle a  ∈  B − { 1 } ein Filter auf B.

 Ist I ein Ideal auf B, so definieren wir für alle a, b  ∈  B:

a  ∼_I  b,  falls  a Δ b = (a − b) + (b − a)  ∈  I.

Auf C = B/∼_I können wir nun Boolesche Operationen einführen. Wir schreiben ∼ für ∼_I und setzen für alle a/∼ und b/∼  ∈  C:

a/∼  +  b/∼  =  (a + b)/∼

a/∼  ·  b/∼  =  (a · b)/∼

− a/∼  =  (− a)/∼

0  =  0/∼,  1  =  1/∼

Es ist leicht zu zeigen, dass diese Operationen wohldefiniert sind, und dass C unter ihnen zu einer Booleschen Algebra wird.

 Die Abbildung f : B → B/I mit f (a) = a/∼ ist ein Homomorphismus. Ist umgekehrt f : B → C ein Homomorphismus zwischen zwei Booleschen Algebren, so ist der Kern von f, also

I  =  { a  ∈  B | f (a) = 0 },

ein Ideal auf B. Ist der Homomorphismus f : B → C surjektiv, so ist C isomorph zur Quotientenalgebra B/I.

 Der Satz von Tarski über die Existenz von Ultrafiltern gilt auch im Kontext von Booleschen Algebren:

 Der Satz kann wie für Ultrafilter auf Mengen entweder mit einem Maximalitätsprinzip oder mit transfiniter Induktion bewiesen werden. Den Zusatz erhält man durch Fortsetzung des Filters F_a − b = { c  ∈  B | a − b ≤ c } zu einem Ultrafilter U auf B.

Mengenalgebren

 Die wichtigsten Beispiele für Boolesche Algebren sind Mengenalgebren. Ist M eine nichtleere Menge, so ist 〈 ℘(M), ∪, ∩, −, ∅, M 〉 eine Boolesche Algebra, wobei hier ∪, ∩, − die üblichen Operationen der Vereinigung, Schnittbildung und Komplementbildung auf ℘(M) sind und also als Addition, Multiplikation bzw. Komplementbildung aufgefasst werden. Die 0 der Booleschen Algebra ist die leere Menge, und die 1 ist die Menge M.

 Die einfachste volle Mengenalgebra ist:

 Der Träger von 2 ist { ∅, { ∅ } } = { 0, 1 } ⊆ ω, und es gilt 0₂ = ∅, 1₂ = { ∅ }. Die Operationen der Booleschen Algebra 2 lauten:

 Offenbar ist 2 die kleinste Boolesche Algebra, d.h. es gilt 2 ≼ B für jede Boolesche Algebra B.

 Die Mengenalgebren schöpfen nun im folgenden Sinne bereits alle Booleschen Algebren aus:

 Wie oben schon erwähnt übertragen sich aufgrund dieses Satzes alle Rechengesetze für Mengen auf Boolesche Algebren (und umgekehrt). Definieren wir z. B. die symmetrische Differenz in Booleschen Algebren wie oben bei der Bildung der Quotientenalgebra durch a Δ b = (a − b) + (b − a), so wissen wir automatisch, dass a Δ (b Δ c) = (a Δ b) Δ c gilt, denn diese Assoziativität gilt für die mengentheoretische symmetrische Differenz a Δ b = (a − b) ∪ (b − a).

Weitere Beispiele für Boolesche Algebren

 Wir diskutieren nun noch zwei Typen von Booleschen Algebren, nämlich die sog. Intervallalgebren über linearen Ordnungen und die durch die mathematische Logik motivierten Lindenbaum-Tarski-Algebren.

 Jede lineare Ordnung führt zu einer Booleschen Algebra durch die Betrachtung von halb offenen Intervallen. Ist 〈 M, < 〉 eine lineare Ordnung, so setzen wir für alle x, y  ∈  M:

Alle und nur diese Intervalle von M gelten für das Folgende als die (nach rechts) halb offenen Intervalle in 〈 M, < 〉.

 Wir verwenden halb offene Intervalle, um die Abgeschlossenheit von B unter Komplementbildung zu erreichen.

 Starten wir mit der linearen Ordnung 〈 ℚ, < 〉, so ist die zugehörige Intervallalgebra B abzählbar und zudem atomfrei:

 Die Ordnung der rationalen Zahlen 〈 ℚ, < 〉 ist bis auf Ordnungsisomorphie die einzige abzählbare, dichte und unbeschränkte lineare Ordnung. Für die zugehörige Intervallordnung gilt die folgende Charakterisierung:

 Wir diskutieren schließlich noch ein Beispiel aus der mathematischen Logik. Hier werden die Booleschen Operationen durch ∨, ∧, ¬ interpretiert.

 Sei T eine widerspruchsfreie Theorie in der Sprache L. Zwei L-Formeln φ, ψ heißen T-äquivalent, in Zeichen φ ∼ ψ, falls gilt:

T ⊢ φ ↔ ψ.

Man überprüft ohne Schwierigkeiten, dass ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge Form_L aller L-Formeln ist.

 Auf der Faktorisierung der Formeln nach ∼ können wir eine Boolesche Algebra definieren. Wir setzen hierzu

B_T  =  Form_L/∼,

φ/∼  +  ψ/∼  =  (φ ∨ ψ)/∼,  φ/∼  ·  ψ/∼  =  (φ ∧ ψ)/∼,

− φ/∼  =  (¬ φ)/∼,  0  =  ⊥/∼,  1  =  (¬ ⊥)/∼,

wobei das Falsum ⊥ entweder in die Sprache integriert oder ansonsten eine beliebige falsche Aussage ist wie z. B. ∃x x ≠ x. Der Leser möge beweisen, dass B_T mit diesen Operationen tatsächlich eine Boolesche Algebra ist. Die Widerspruchsfreiheit von T brauchen wir dabei für 0 ≠ 1.

 Man kann zeigen, dass jede Boolesche Algebra isomorph zu einer Lindenbaum-Tarski-Algebra ist. Damit sind diese nichtmengentheoretischen Algebren universelle Beispiele für Boolesche Algebren.

Vollständige Boolesche Algebren

 Für alle A ⊆ B ist dann ∏ A das Infimum von A bzgl. ≤.

 Jede Boolesche Algebra ist trivialerweise ω-vollständig, denn für alle a, b  ∈  B gilt nach obiger Übung a + b = ∑ { a, b } und a · b = ∏ { a, b }. Induktiv folgt dann

Weiter ist ∑ ∅ = 0 und ∏ ∅ = 1. Ist B = ℘(M) die volle Mengenalgebra auf M, so ist B vollständig, und für alle A ⊆ B gilt ∑ A = ⋃ A und ∏ A = ⋂ A.

Vervollständigung und Schnitte in partiellen Ordnungen

 Boolesche Algebren können wir nach der Methode von Dedekind durch eine verallgemeinerte ordnungstheoretische Schnittkonstruktion vervollständigen. Hierbei steht die separative partielle Ordnung 〈 B − { 0 }, < 〉 im Vordergrund. Es zeigt sich, dass wir ausgehend von einer beliebigen separativen partiellen Ordnung ohne Verwendung von Booleschen Operationen in natürlicher Weise eine vollständige Boolesche Algebra konstruieren können, in die die partielle Ordnung dicht eingebettet ist. Diese Tatsache verbindet die auf partiellen Ordnungen gegründete Forcing-Theorie mit der Forcing-Theorie über Booleschen Algebren. Wir stellen die Konstruktion deswegen allgemein für separative partielle Ordnungen 〈 P, < 〉 vor. Die Vervollständigung einer Booleschen Algebra B ist als Spezialfall 〈 P, < 〉 = 〈 B − { 0 }, < 〉 enthalten.

 In linearen Ordnungen 〈 M, < 〉 haben Schnitte die Form (L, R) mit einem „linken“ Teil L und einem rechten Teil R: L ∪ R = M, L ∩ R = ∅, x < y für alle x  ∈  L und y  ∈  R. Da R = M − L gilt, können wir das Intervall L selbst als Schnitt ansehen. Dann ist ein Schnitt L ordnungstheoretisch offen in M, denn für alle x  ∈  L und alle y  ∈  M mit y ≤ x ist y  ∈  L. Zur Vervollständigung von M verwenden wir aber nicht jede offene Menge in M. In ℚ z. B. verwenden wir L = { q  ∈  ℚ | q ≤ 0 }, nicht aber die offene Menge L − { 0 }, da wir sonst einen unerwünschten Sprung in der durch Inklusion geordneten Vervollständigung erhalten würden. Die „guten“ offenen Mengen in partiellen Ordnungen sind nun die wie folgt definierten Schnitte in P, und nur sie werden wir zur Vervollständigung heranziehen.

 Die Mengen U_p sind aufgrund der Separativität der Ordnung Schnitte. Für alle Schnitte U in P und alle p  ∈  P gilt: Ist U_p − { p } ⊆ U, so ist p  ∈  U. Diese Bedingung garantiert aber noch nicht, dass ein offenes U ein Schnitt in P ist (!).

 Eine nützliche äquivalente Schnittbedingung für offene Teilmengen U von P ist die Kontraposition von (+):

(+)′  Für alle p  ∉  U existiert ein q ≤ p mit U ∩ U_q = ∅.

 Sind U, V Schnitte in P, so ist auch U ∩ V ein Schnitt. Allgemeiner ist ⋂ 𝒮 ein Schnitt für eine beliebige Menge 𝒮 von Schnitten. Andererseits sind i. A. die Vereinigung U ∪ V zweier Schnitte und das Komplement P − U eines Schnittes kein Schnitt mehr. Um Boolesche Operationen auf den Schnitten einführen zu können, brauchen wir also noch weitere Konstruktionen.

 Betrachten wir die Mengen U_p, p  ∈  P, als die offenen Basismengen eines topologischen Raumes 〈 P, 𝒰 〉, so sind int und cl die üblichen topologischen Operationen auf diesem Raum. Also gilt

int(X)  =  P − cl(P − X)

cl(X)  =  P − int(P − X)

Regulär offene Mengen

 Die Schnitte in P lassen sich mit diesen topologischen Operationen charakterisieren. Wir definieren allgemein:

 Aus den Definitionen des Schnitts und der Operationen des Abschlusses und des Inneren ergibt sich folgende Äquivalenz (Beweis als Übung):

 Die Schnitte einer separativen partiellen Ordnung können wir nun mit Booleschen Operationen versehen. Im Folgenden sind alle partiellen Ordnungen stets nichtleer.

 Hierbei steht „r. o.“ für regulär offen. Die Algebra besteht ja aus den regulär offenen Mengen der von den Mengen U_p erzeugten Topologie auf P.

 Man verifiziert nun ohne Schwierigkeiten:

 Zum Ausgangspunkt dieses Zwischenabschnitts zurückkehrend definieren wir schließlich noch:

Der nichtseparative Fall

 Für nicht separative partielle Ordnungen bilden wir zuerst einen separativen Quotienten und anschließend die Boolesche Algebra der regulären Schnitte. Wir definieren:

 Ist p ≤ q, so ist p/∼ ≤ q/∼. Gilt p/∼ ≤ q/∼, so existieren aber i. A. keine p′, q′ mit p′ ∼ p, q′ ∼ q und p′ ≤ q′. Weiter kann p/∼ = { p } für alle p gelten, ohne dass P separativ wäre. Ein Gegenbeispiel ist im folgenden Diagramm angedeutet. Die Elemente p, q zeigen, dass die Ordnung P nicht separativ ist. Für alle r  ∈  P gilt r/∼ = { r } und schließlich ist p/∼ < q/∼ im separativen Quotienten.

 In den folgenden Übungen ist 〈 P, < 〉 eine partielle Ordnung in einem abzählbaren transitiven Modell M von ZFC (sodass die Forcing-Relation definiert ist).

 Ist 〈 P/∼, < 〉 der separative Quotient von 〈 P, < 〉, so gilt für alle p, q  ∈  P:

 Damit können wir nun jede partielle Ordnung in eine vollständige Boolesche Algebra verwandeln und dabei die für die Erzwingungsmethode benötigten Struktureigenschaften erhalten:

Die Einbettung einer partiellen Ordnung P in r. o.(P/∼)

 Wir fassen zusammen:

 Sei 〈 P, < 〉 eine Bedingungsmenge in einem abzählbaren transitiven Grundmodell M. Weiter sei B = r. o. (P/∼) die in M berechnete zugeordnete vollständige Boolesche Algebra. Wir wollen nun zeigen, dass das Forcing mit den drei Bedingungsmengen P, P/∼ und B⁺ = B − { 0 } äquivalent ist, da sich die generischen Filter dieser Ordnungen ineinander übersetzen.

 Für den Übergang von P zum separativen Quotienten P/∼ gilt:

 Allgemein gilt weiter, dass eine dichte Teilordnung generische Filter ererbt und erzeugt. Sei Q eine Bedingungsmenge und sei E ⊆ Q dicht in Q. Ist G ein M-generischer Filter auf Q, so ist G ∩ E ein M-generischer Filter auf 〈 E, < 〉. Ist umgekehrt H ein M-generischer Filter auf E, so ist

G  =  { q  ∈  Q | es gibt ein h  ∈  H mit h ≤ q }

ein M-generischer Filter auf Q. Nach Minimalität der Forcing-Erweiterung gilt weiter, dass M[ G ] = M[ H ]. In diesem Sinne ist das Forcing mit Q äquivalent zum Forcing mit der dichten Teilordnung E.

 Da der separative Quotient P/∼ dicht in B⁺ = r. o. (B) − { 0 } eingebettet ist, erhalten wir zusammen mit obiger Übung:

 Damit ist das Forcing über partiellen Ordnungen und das Forcing über vollständigen Booleschen Algebren gleichwertig.

 Mit unseren Ergebnissen kann man zeigen, dass viele Bedingungsmengen äquivalent aus der Sicht der Erzwingungsmethode sind. Nach obiger Übung existiert bis auf Isomorphie nur eine abzählbare atomfreie Boolesche Algebra, und damit sind dann auch je zwei atomfreie vollständige Boolesche Algebren, die eine abzählbare dichte Teilmenge besitzen, isomorph. Ist P eine abzählbare Bedingungsmenge derart, dass für alle p  ∈  P inkompatible p₁, p₂ < p existieren, so ist r. o.(P/∼) diese bis auf Isomorphie eindeutige atomfreie vollständige Boolesche Algebra mit einer abzählbaren dichten Teilmenge. Damit produzieren je zwei abzählbare Bedingungsmengen mit dieser Verzweigungseigenschaft dieselben generischen Erweiterungen eines Grundmodells. Die kanonische derartige Bedingungsmenge ist das Cohen-Forcing 〈 ^{< ω}ω, ⊃ 〉, und die generischen Erweiterungen sind hier von der Form M[ x ] für eine reelle Zahl x. Ist also P irgendeine abzählbar verzweigende Bedingungsmenge und G ein M-generischer Filter, so existiert eine Cohensche reelle Zahl x mit M[ G ] = M[ x ].

Generische Filter auf vollständigen Booleschen Algebren

 Vollständige Boolesche Algebren erlauben eine wichtige neue Charakterisierung der Generizität eines Filters. Wir definieren hierzu:

 Nach dieser Analyse des Zusammenhangs zwischen partiellen Ordnungen und Booleschen Algebren diskutieren wir nun den eigentlich neuen Aspekt dieses Zugangs zur Erzwingungstheorie:

Boolesche Modelle

 In den üblichen Modellen ist eine Aussage entweder „wahr“ (Wahrheitswert 1) oder „falsch“ (Wahrheitswert 0). In den Booleschen Modellen werden die Wahrheitswerte 0 und 1 durch die Elemente einer vollständigen Booleschen Algebra B ersetzt:

 Wir identifizieren oft ein Boolesches Modell mit seinem Universum. Die Sprache Boolescher Modelle besteht aus zwei Relationssymbolen  ∈  und =, die in Booleschen Modellen dieser Sprache prinzipiell beliebig interpretiert werden können. Lediglich die Forderungen (i) − (v) müssen erfüllt sein.

 Wir nennen ∥a = b∥ auch den Wahrheitswert der Gleichheit von a und b, und ∥a   ∈   b∥ den Wahrheitswert der Elementbeziehung zwischen a und b. Die Forderungen (i) − (v) reflektieren die Gleichheitsaxiome der Logik. Sie fordern, dass die Gleichheit eine Äquivalenzrelation ist ((i) − (iii)), die die  ∈ -Relation respektiert ((iv) − (v)).

 Lesen wir 1 als „wahr“, „sicher“ oder „unbedingt gültig“ und die Multiplikation als ∧, und erinnern wir uns weiter daran, dass a ≤ b genau dann gilt, wenn a ⇒ b = 1, so liest sich die dritte Forderung z. B. als

„∥a = b∥ ∧ ∥b = c∥ ⇒ ∥a = c∥ ist sicher gültig für alle a, b, c  ∈  A“.

 Die Wahrheitswerte ∥a = b∥ und ∥a  ∈  b∥ können wir für die vollständige Boolesche Algebra 2 = { 0, 1 } mit „falsch“ und „wahr“ identifizieren, und in diesem Sinne sind die üblichen Modelle 〈 A,  ∈  〉 = 〈 A, =,  ∈  〉 spezielle 2-Modelle. Wir gehen unten hierauf noch genauer ein.

 Als Nächstes definieren wir den Wahrheitswert einer Formel, die über bestimmte Elemente des Universums spricht. Dieser Wahrheitswert ist ein Element der zugrunde liegenden Booleschen Algebra. Er errechnet sich rekursiv aus den Wahrheitswerten für die Gleichheit und die Elementbeziehung.

 Genauer schreiben wir ∥φ∥_A statt ∥φ∥, falls nötig.

 Die Vollständigkeit der Booleschen Algebra B wird entscheidend im Allquantorschritt der Definition verwendet.

 Auch wenn A eine echte Klasse ist, so betrifft die Infimumsbildung im Allquantorschritt nicht wirklich echte Klasse. Denn die Boolesche Algebra B ist eine Menge, und für eine hinreichend große Ordinalzahl α = α(φ, a₁, …, a_n) ist dann

{ ∥φ(…, a, …)∥ | a  ∈  A }  =  { ∥φ(…, a, …)∥ | a  ∈  A ∩ V_α }.

Offiziell läuft das Supremum also nur über die Menge A ∩ V_α.

 Aus der Definition der Disjunktion und Implikation und des Existenzquantors ergibt sich dann:

∥(φ ∨ ψ) (a₁, …, a_n)∥  =  ∥φ(a₁, …, a_n)∥ + ∥ψ(a₁, …, a_n)∥

∥(φ → ψ) (a₁, …, a_n)∥  =  ∥φ(a₁, …, a_n)∥ ⇒ ∥ψ(a₁, …, a_n)∥

∥(∃x_i φ(x₁, …, x_n) (a₁, …, a_n)∥  =  ∑_{a  ∈  A} ∥φ(a₁, …, a_i − 1, a, a_i + 1, …)∥

 Der Begriff der Gültigkeit bleibt unverändert dem Wahrheitswert 1 vorbehalten:

 Speziell gilt eine Implikation φ → ψ in einem B-Modell A genau dann, wenn ∥φ∥ ≤ ∥ψ∥.

 Aufgrund der Vollständigkeit von B können wir auch allgemeiner den Wahrheitswert einer Theorie ∑ in A definieren als ∥∑∥ = ∏_{φ  ∈  ∑} ∥φ∥. Dann ist A genau dann ein Modell von ∑, wenn ∥∑∥ = 1 gilt.

Boolesche Modelle und übliche Modelle

 Wie oben schon erwähnt können wir jedes verallgemeinerte Klassenmodell 〈 A, E 〉 = 〈 A, =, E 〉 als B-wertiges Modell für die Boolesche Algebra 2 = { 0, 1 } auffassen, indem wir die Wahrheitswerte für „a = b“ und „a E b“ gleich 1 oder 0 setzen, je nachdem, ob a = b bzw. a E b gilt oder nicht. Allgemeiner können wir dies für Modelle der Form 〈 A, I, E 〉 tun, wo die „Identitäts“-Relation I nicht mehr die echte Identität sein muss, sondern lediglich eine Kongruenzrelation auf A für die Relation E ist, d. h. eine die Relation E respektierende Äquivalenzrelation auf A.

 Umgekehrt führt uns nun ein Ultrafilter auf B von einem B-Modell zu einem Modell 〈 A, I, E 〉 und nach einer Faktorisierung gemäß der Identitäts-Relation I zu einem üblichen Modell. Der Ultrafilter reduziert die Flut der Wahrheitswerte in B wieder auf „wahr“ und „falsch“. Wir definieren:

 Es ist leicht zu sehen, dass die Definition der E-Relation nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Zur weiteren Untersuchung der Faktorisierung betrachten wir eine für sich interessante und natürliche Reichhaltigkeitseigenschaft von Booleschen Modellen.

Maximale Boolesche Modelle

 Wir definieren nun einen speziellen Typ von „guten“ Booleschen Modellen. Alle konstruierten Modelle werden diesem Typ angehören.

 Das in ∥∃x φ(x, a₁, …, a_n)∥ gebildete Supremum wird also angenommen. Die Wahrheitswerte von Existenzaussagen werden durch Zeugen im Universum A des Modells belegt.

 Die Maximalität von A hat zur Folge, dass die Gültigkeit im faktorisierten Modell durch den Ultrafilter kontrolliert wird:

 Der einfache Beweis durch Induktion über den Formelaufbau sei dem Leser zur Übung überlassen. Die Maximalität des B-Modells wird dabei im Quantorschritt verwendet.

Der Korrektheitssatz für Boolesche Modelle

 Eine Routineüberprüfung zeigt den für metamathematische Aspekte bedeutenden Korrektheitssatz für Boolesche Modelle:

 Wie die übliche Gültigkeitsrelation ist die Definition der Wahrheitswerte in einem B-Modell derart, dass sie die logischen Axiome und Schlussregeln respektiert. Wir illustrieren dies am Beispiel von Modus Ponens: Ist ∥φ → ψ∥ = 1 und ∥φ∥ = 1 in A, so ist auch ∥ψ∥ = 1, denn es gilt

∥ψ∥  =  ∥0  ∨  ψ∥  =  ∥1  →  ψ∥  =  ∥φ  →  ψ∥  =  1.

Diese kurze Rechnung ist schon ein Hauptelement des Beweises des Korrektheitssatzes, wenn der Hilbert-Kalkül als formales Herleitungssystem zugrunde gelegt wird.

 Der Korrektheitssatz liefert wie gewohnt die Möglichkeit, die Konsistenz einer Aussage relativ zu einer Theorie ∑ zu zeigen. Für Boolesche Modelle liest sie sich wie folgt:

 Damit steht uns eine neue Welt offen, in der wir die Grenzen von ZFC erkunden können. Wir arbeiten in ZFC. Für eine beliebige vollständige Boolesche Algebra B definieren wir nun ein Boolesches Modell A und zeigen, dass in A alle ZFC-Axiome gelten. Dann ist jede Aussage φ, die in A einen Wahrheitswert ungleich 0 besitzt, relativ konsistent zu ZFC. Die Konsistenzfragen über generische Filter entfallen. Ebenso müssen keine transitiven Mengenmodelle mehr verwendet werden, denn die Booleschen Modelle erben die Vorteile der Klassenmodelle.

 Da wir maximale B-Modelle konstruieren werden, können wir durch Faktorisierung mit Hilfe von Ultrafiltern zu üblichen Modellen zurückkehren, wenn wir möchten. Ist A ein maximales B-Modell von ZFC und gilt a = ∥φ∥ ≠ 0, so ist die Faktorisierung A/U ein Modell von ZFC + φ für jeden Ultrafilter U auf B mit a  ∈  U. Der Korrektheitssatz für Boolesche Modelle wird dann für relative Konsistenzargumente gar nicht benötigt.

 Wir haben gesehen, dass Bedingungsmengen zu vollständigen Booleschen Algebren aufgewertet werden können, und damit wissen wir bereits, welche Booleschen Algebren für welche metamathematischen Ziele in Frage kommen. Wie erwartet lässt sich dann z. B. die vollständige Boolesche Algebra der Bedingungsmenge part(ω × ω₂, 2) dazu verwenden, um ein B-Modell zu konstruieren, in welchem 2^ω = ω₂ den Wahrheitswert 1 besitzt. Ein Wahrheitswert ungleich 0 würde für einen relativen Konsistenzbeweis bereits genügen.

 Nach dieser Aufstellung des Booleschen Rahmens wollen wir nun maximale B-wertige Klassenmodelle konstruieren.

Die Booleschen Modelle V^B

 Sei B eine vollständige Boolesche Algebra. Wir definieren ein Boolesches Klassenmodell mit Wahrheitswerten in B. Das Universum dieses Modells entsteht durch ein rekursives „Ankleben“ von Wahrheitswerten in B. Diese „Wahrheitszettel“ drücken wir durch Funktionen aus.

Für die ersten Stufen gilt:

V^B₀  =  ∅,  V^B₁  =  { ∅ }

V^B₂  =  V₁  ∪  { { (∅, b) } | b  ∈  B }

Man zeigt durch Induktion, dass V^B_α ⊆ V^B_α + 1 für alle Ordinalzahlen α gilt. Die Hierarchie ist weiter strikt aufsteigend, da |V^B_α + 1| ≥ |℘(V^B_α)| > |V^B_α|.

 Wir definieren nun die Wahrheitsfunktionen für die Gleichheit und die Elementbeziehung für das Universum V^B und zeigen, dass wir dadurch ein Boolesches Modell erhalten. Die folgenden Zeilen bilden das Herz der Booleschen Erzwingungstheorie. Die Formeln für Epsilon und Identität präsentieren wir ohne Umschweife und Motivation ad hoc, wie es für derartige Zauberformeln auch sein darf. Nach kurzer Gewöhnungsphase lesen sie sich sehr natürlich und sind dann entsprechend einfach zu merken und anzuwenden.

 Die Rekursion kann z. B. über (rang(u), rang(v))  ∈  On² unter der durch die Paarungsfunktion Γ gegebenen Wohlordnung von On² verlaufen. Wir verwenden im Folgenden geeignete zugrunde liegende Wohlordnungen von On², On³, usw. ohne weiteren Kommentar.

 Wir verwenden ∏ ∅ = 1 und ∑ ∅ = 0, sodass sich speziell ergibt:

∥∅  =  ∅∥ =  1,  ∥u   ∈   ∅∥ =  0,  ∥∅  ⊆  u∥ =  1,

∥u  ⊆  ∅∥ =  ∏_{t  ∈  dom(u)} − u(t).

 Für alle u  ∈  V^B und alle t  ∈  dom(u) ist u(t) eine erste Approximation für den Wahrheitswert von „t ist ein Element von u“. Der intendierte Wahrheitswert kann aber größer sein als u(t), denn es kann t′  ∈  dom(u) geben, die einen großen Wahrheitswert für „t ist gleich t′“ und einen großen Wert u(t′) aufweisen. Diese Überlegungen motivieren das Supremum in der Definition der Elementrelation. Die Definition der Wahrheitswerte für die Teilbarkeitsrelation und folglich für die Gleichheit ist dann nur konsequent.

 Wir wollen nun zeigen, dass V^B zusammen mit den obigen Wahrheitswertfunktionen ein Boolesches Modell über B ist.

 Damit sind für alle Formeln φ(x₁, …, x_n) und alle u₁, …, u_n  ∈  V^B die Wahrheitswerte ∥φ(u₁, …, u_n)∥  ∈  B definiert.

 Zwei sympathische und häufig verwendete Regeln betreffen die beschränkten Quantoren. Für den Existenzquantor gilt zunächst nur die Abschätzung:

Durch „Einschieben“ einer logischen Äquivalenz erhalten wir anstelle der Abschätzung sogar Gleichheit. Genaueres zeigt der folgende Beweis.

 Zuweilen sind auch die folgenden schwächeren Versionen nützlich:

Eigenschaften von V^B

 Wir wollen nun zeigen, dass V^B ein Modell von ZFC ist. Vorab beweisen wir noch einige für sich interessante Ergebnisse über das Modell V^B, die die Konstruktion des Modells und die Definitionen der Wahrheitswerte für die Gleichheit und Elementbeziehung illustrieren. Einige davon werden darüber hinaus auch nützlich beim Beweis des Modellsatzes sein.

Mischungen und Maximalität von V^B

 Als erstes wollen wir das Boolesche Analogon zum Maximalitätsprinzip oder Fullness-Lemma zeigen. Hierzu betrachten wir die folgenden „Mischungen“:

 Für Mischungen entlang Antiketten gilt:

 Für degenerierte Mischungen mit nur einem Summanden erhalten wir:

 Die Mischung können wir gleichwertig auch wie folgt definieren:

 Mit dem Mischungslemma können wir nun leicht zeigen:

 Wie oben diskutiert können wir also das Modell V^B mit Hilfe von Ultrafiltern faktorisieren.

 Wir erhalten damit folgende Regel für die universelle Gültigkeit einer Implikation mit gültig bezeugter Prämisse in V^B:

Die Einbettung von V in V^B

 Die folgende Konstruktion ist uns aus der Forcing-Theorie für partielle Ordnungen schon bekannt:

 Es gilt also dom(x̂) = { ŷ | y  ∈  x }. Für alle y  ∈  x gilt ∥ŷ  ∈  x̂∥ = 1, und für beliebige u  ∈  V^B rechnen wir:

Weitere elementare Eigenschaften der Konstruktion sind:

 Der Beweis kann dem Leser zur Übung überlassen bleiben. Die Aussagen (iii) und (iv) können simultan durch Induktion gezeigt werden.

 Identifizieren wir x mit x̂, so können wir V als Teilklasse von V^B auffassen. Wie zu erwarten sind dann beschränkte Formeln absolut und ∑₁-Formeln aufwärts absolut:

 Wie für die partiellen Ordnungen definieren wir schließlich ein spezielles Element G̋:

 Wir untersuchen das Objekt G̋ später noch genauer.

Vollständige Unteralgebren

 Ist eine Unteralgebra C von B eine vollständige Boolesche Algebra, so stimmen die in C berechneten Suprema und Infima i. A. nicht mit den in B berechneten Werten überein: C kann größere Suprema und kleinere Infima bestimmen als B, weil der Algebra C die „echten“ Suprema und Infima fehlen. Diese wünschenswerte Übereinstimmung umfasst der folgende Begriff:

 Ist C eine vollständige Boolesche Unteralgebra von B, so ist das Boolesche Modell V^C eine Teilklasse von V^B. Für die grundlegenden Wahrheitswertfunktionen der Modelle gilt:

 Die Aussagen zeigt man simultan durch Induktion. Eine Induktion über den Formelaufbau liefert dann:

Ist φ(x₁, …, x_n) eine ∑₀-Formel, so gilt für alle u₁, …, u_n  ∈  V^C:

∥φ(u₁, …, u_n∥_C  =  ∥φ(u₁, …, u_n∥_B.

Der Leser vergleiche dieses Ergebnis mit obiger Diskussion: Die Boolesche Algebra 2 ist eine vollständige Teilalgebra von B.

V^B erfüllt ZFC

 Wir zeigen nun, dass in V^B alle ZFC-Axiome den Wahrheitswert 1 haben. Der Leser vergleiche die Argumente mit dem Satz „M[ G ] ⊨ ZFC“.

Mengenlehre in V^B

 Wir untersuchen die grundlegenden mengentheoretischen Konzepte in den neuen Booleschen Universen V^B nun noch genauer. Wir beginnen mit einem Blick auf die Ordinalzahlen.

Ordinalzahlen in V^B

 Im Beweis oben haben wir bereits benutzt, dass ∥^α  ∈  On∥ = 1 für alle Ordinalzahlen α gilt. Diese sog. Standardordinalzahlen ^α können wir einsetzen, um den allgemeinen Ordinalzahlbegriff von V^B zu verstehen. Zunächst gilt (Beweis als Übung):

 Damit erhalten wir:

 Standardordinalzahlen können wir mischen, um neue Ordinalzahlen in V^B zu erhalten:

 Umgekehrt gilt:

Konstruierbare Mengen in V^B

 Die obigen Resultate für die Ordinalzahlen gelten analog auch für die konstruierbaren Mengen:

 Analog gilt auch wieder ∥∃x  ∈  L φ(x)∥ = ∑_{x  ∈  L} ∥φ(x̂)∥ usw.

Kardinalzahlen in V^B

 Wir betrachten nun die Kardinalzahlen von V^B. Hier gilt zunächst:

 In der Forcing-Theorie für partielle Ordnungen hatten wir gesehen, dass die abzählbare Antikettenbedingung den vollständigen Erhalt der Kardinalzahlen und der Konfinalitäten garantiert. Für die Booleschen Modelle gilt analog: