2. Primzahlzwillinge
Der Abstand 1 taucht nur zwischen den Primzahlen 2 und 3 auf, da alle Primzahlen größer als 2 ungerade sind. Wie steht es um den Abstand 2? Wir definieren hierzu:
Definition (Primzahlzwilling)
Ein Paar der Form (p, p + 2) heißt ein Primzahlzwilling, falls p und p + 2 Primzahlen sind.
Die Primzahlzwillinge entsprechen genau den Werten 2 der Abstandsfolge (gn)n ≥ 1 der Primzahlen. Im Primzahlpfad entsprechen sie einer Haarnadelbiegung.
Beispiele
Die ersten Primzahlzwillinge sind:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73),
(101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Zwischen 1000000 und 1001000 gibt genau die folgenden Zwillinge:
(1000037, 1000039), (1000211, 1000213), (1000289, 1000291),
(1000427, 1000429), (1000577, 1000579), (1000619, 1000621),
(1000667, 1000669), (1000721, 1000723), (1000847, 1000849),
(1000859, 1000861), (1000919, 1000921).
Ob auf eine Zahl n ein Primzahlzwilling (n + 1, n + 3) folgt, lässt sich anhand der Restetafel von n leicht erkennen. Wir betrachten hierzu zwei Beispiele.
Restetafel für n = 28. Für alle Primzahlen kleinergleich 28 gibt es keinen letzten und drittletzten Eintrag (wobei für p = 2 der drittletzte Eintrag mit dem letzten zusammenfällt). Damit folgt auf n = 28 ein Primzahlzwilling, nämlich (29, 31).
Restetafel für n = 30. Es folgt eine Primzahl, aber aufgrund des Eintrags bei 3 (und weiter bei 11) kein Primzahlzwilling.
Ein Blick auf die Abstandsfolge der Primzahlen bis 10000 im Anhang zeigt, dass der Wert 2 relativ häufig auftaucht. Es ist jedoch eines offenes Problem, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt! Bereits die Frage, ob die Zahl 2 unendlich oft in der Abstandsfolge auftaucht, können wir nach dem derzeitigen Stand des Wissens nicht beantworten.
Wir formulieren als Hypothese:
Unendlichkeit der Primzahlzwillinge
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
Die Hypothese ist äquivalent dazu, dass es unendlich viele n gibt, deren Restetafeln keine keine letzten und drittletzten Einträge besitzen.
Der Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen von Euklid scheint nicht stark genug zu sein, um in einer weiteren Variante die Unendlichkeit der Primzahlzwillinge zeigen zu können (ausschließen lässt sich eine solche Variante aber nicht). Ein Beweis der Hypothese nach dem Eulerschen Beweis von
∑p prim 1p = ∞
ist dagegen mit Sicherheit nicht mehr möglich. In der analytischen Zahlentheorie konnte man zeigen:
∑p ist erste Komponente eines Primzahlzwillings 1p < ∞.
Damit sind Primzahlzwillinge viel seltener als Primzahlen. Im Gegensatz zu den Primzahlen dünnen sie die harmonische Reihe derart aus, dass sich ein endlicher Wert ergibt. Die Existenz eines größten Primzahlzwillings ist prinzipiell möglich, die Expertenvermutung ist aber, dass die Hypothese richtig ist. Hardy und Littlewood haben 1923 mit Hilfe heuristischer Überlegungen sogar eine Funktion angegeben, die die Anzahl der Primzahlzwillinge bis n näherungsweise berechnet. Wir verweisen den Leser für die dieser Heuristik entsprechende Hardy-Littlewood-Vermutung auf die Literatur.
Primzahlzwillinge lasen sich vielfach verallgemeinern. Wir diskutieren dies in den folgenden Essays.