2. Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz gibt eine Funktion an, die asymptotisch gleich der Primzahlzählfunktion ist. Wie vermutet ist x/log(x) geeignet:

Es gilt also

π(x)  ∼  ^x_log(x),  d. h.  lim_{x → ∞} ^π(x)_x/log(x)  =  1.

Umformen liefert die äquivalenten Aussagen

π(x) log(x)  ∼  x,  log(x)  ∼  x/π(x).

Nach dem Primzahlsatz gibt es für alle n > 1 im Intervall { 1, …, n } ungefähr n/log(n) viele Primzahlen, wobei das bislang intuitive „ungefähr“ nun durch die mit Hilfe des Grenzwertbegriffs definierte Eigenschaft „asymptotisch gleich“ präzisiert ist. Sowohl π(x) als auch x/log(x) streben gegen unendlich, wenn x gegen unendlich strebt. Nach dem Primzahlsatz ist dieses Wachstum gleich schnell im Sinne der Konvergenz des Quotienten der Funktionen gegen 1.

 Es ist wesentlich, dass der Logarithmus log (= log_e = ln) zur Basis e verwendet wird. Für den Logarithmus log_a zu einer Basis a > 0 mit a ≠ 1 gilt

log_a(x)  =  ^log(x)_log(a)  für alle x > 0.

Damit sind π(x) und x/log_a(x) genau dann asymptotisch gleich, wenn die Basis a gleich e ist. Die Primzahlen hängen eng mit der neben der Kreiszahl π wichtigsten analytischen Konstanten e zusammen. Wer über Primzahlen nachdenkt, entdeckt früher oder später die Eulersche Zahl.

 Ein vollständiger Beweis des Primzahlsatzes liegt außerhalb der Ziele dieses Textes und wir verweisen den Leser auf die Literatur für verschiedene Beweise des Satzes. Wir können aber das Ergebnis immerhin plausibel machen und unter verschiedenen Aspekten weiter beleuchten.

Zur Geschichte des Primzahlsatzes

 Zum Primzahlsatz äquivalente Aussagen − wurden auf der Basis von Primzahltafeln zuerst vermutet von Gauß 1792/1793, Legendre 1797 und Dirichlet 1838. Die ersten Beweise des Satzes fanden unabhängig voneinander Hadamard und de la Vallée Poussin 1896. Sie basieren auf den Vorarbeiten von Chebyshev 1850 und verwenden komplexe Analysis. Der Satz fällt damit traditionell in das Gebiet der analytischen Zahlentheorie. In diesem Gebiet werden Methoden der komplexen Analysis und speziell die Riemannsche Zetafunktion verwendet, um die Primzahlen zu untersuchen. Dass es diese Brücke zwischen den Gebieten überhaupt gibt, ist eines der vielen Wunder der Mathematik. Elementare Beweise des Primzahlsatzes wurden, entgegen der Expertenvermutung der Nichtexistenz derartiger Beweise, Mitte des 20. Jahrhunderts von Selberg und Erdös gefunden (vgl. [ Selberg 1949 ], [ Erdös 1949 ] und zudem [ Goldfeld 2004 ] für die bedauerliche Auseinandersetzung zwischen Selberg und Erdös). Vereinfachte analytische Beweise gaben Newman 1980 (siehe hierzu auch [ Zagier 1997 ]) und Carella 2015/2018 (im arXiv für Mathematik veröffentlicht).

Die Güte der Approximation

 Wie gut ist die Asymptotik? Dies lässt sich aus dem Primzahlsatz nicht ablesen. Folgende Tabelle gibt einen Eindruck über die Werte der beteiligten Funktionen und ihre (gerundeten) Quotienten.

 Die Konvergenz des Quotienten π(n)/(n/log(n)) gegen 1 lässt sich erahnen, sie ist aber nicht besonders schnell. Eine deutlich schnellere Konvergenz werden wir bei der Diskussion des Integral-Logarithmus kennenlernen.

 Die folgenden Diagramme zeigen die Primzahlzählfunktion π(x) und die asymptotisch gleiche Funktion x/log(x) im Vergleich.

Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation

 Sei n ≥ 1. Die Wahrscheinlichkeit P(n), dass eine aus dem Intervall { 1, …, n } zufällig ausgewählte Zahl eine Primzahl ist, ist gleich der Anzahl der Primzahlen in diesem Intervall geteilt durch die Anzahl der Elemente des Intervalls, also gleich π(n)/n. Wir können diesen Quotienten mit Hilfe des Primzahlsatzes abschätzen, indem wir π(n) durch n/log(n) ersetzen. Dadurch ergibt sich

P(n)  ∼  ¹_log(n).

Wir können diese Überlegung auch so zusammenfassen: Der Primzahlsatz besagt, dass die Primzahldichte π(n)/n asymptotisch gleich 1/log(n) ist.

Das Wachstum der Primzahlfolge

 Nach Definition gilt π(p_n) = n für alle n ≥ 1 und p_π(q) = q für alle Primzahlen q. In diesen Sinne sind die Primzahlzählfunktion und die Primzahlaufzählung invers zueinander. Für beliebige m ≥ 1 ist p_π(m) = „die größte Primzahl p ≤ m“.

Das Wachstum der Teilbarkeitsrelation

 Im Essay „Die Größe der Teilbarkeitsrelation“ hatten wir für alle n ≥ 1 die Relation

Div_n  =  { (a, b)  ∈  { 1, …, n }² | a ist ein Teiler von b }

und ihre Mächtigkeit

div(n)  =  |Div_n|  =  „die Anzahl der Elemente von Div_n“

betrachtet und gezeigt:

Mit Hilfe der asymptotischen Äquivalenz können wir dieses Ergebnis nun so schreiben:

div(n)  ∼  n log(n)

Aus der Asymptotik der Primzahlfolge und dem Primzahlsatz erhalten wir:

 Die Anzahl aller Teilerpaare im Quadrat { 1, …, n }² ist also asymptotisch gleich der n-ten Primzahl. Damit gibt es eine „asymptotische Bijektion“ von der Menge Div_n dieser Paare in das Intervall { 1, …, p_n }.

 Auch die asymptotische Gleichheit des Produkts π(n) div_n und n² lässt sich anschaulich interpretieren: Vervielfachen wir die Punkte eines Teilbarkeitsdiagramms Div_n mit dem Faktor π(n), so erhalten wir asymptotisch n² Punkte, mit denen wir genau das Quadrat { 1, …, n }² ausfüllen können. Umgekehrt folgt aus dieser Asymptotik der Primzahlsatz, sodass sich die folgende Möglichkeit eines elementaren Beweises des Primzahlsatzes ergibt: Die Aufgabe ist, eine „asymptotische Bijektion“

F : { p₁, …, p_π(n) } × Div_n  →  { 1, …, n }²

zu konstruieren, wobei p₁, …, p_π(n) alle Primzahlen des Intervalls { 1, …, n } durchläuft.