3. Über Definitionen

Eine mathematische Definition führt einen neuen Begriff, ein neues Objekt oder eine neue Notation ein. Was zeichnet eine mathematische Definition aus? Wir betrachten ohne Anspruch auf Vollständigkeit einige Gesichtspunkte.

Ein Reich der Ideen

 Wir verwenden die mathematische Fachsprache, um eine Definition zu formulieren. „Kreise sind rund“ oder „Kreise sind das, was wir mit einem Zirkel auf dem Papier zeichnen können“ sind keine fachsprachlichen Definitionen, sondern anschauliche Beschreibungen. Sie können hilfreich sein, aber sie legen den Begriff nicht fest. Das Lateinische „definire“ bedeutet „abgrenzen, bestimmen, genau festlegen“. Eine Definition sagt genau, was etwas ist und was nicht. Sie grenzt ab, nach innen und außen. Und das leistet die Zirkel-und-Papier-Beschreibung für die Mathematik nicht. Mathematische Definitionen sind eindeutig, exakt und formal. Das heißt keineswegs, dass wir nichts über Kreise lernen, wenn wir dem Begriff anschaulich über einen Zirkel begegnen. Das funktioniert sogar sehr gut. Aber die Mathematik strebt seit Euklid nach Höherem. Sie sieht und entdeckt sich selbst in einer Welt der Ideen. Werkzeuge wie Zirkel, Lineal und Papier sind keine Objekte der Mathematik wie die Zahl 7, die Kreiszahl π, die Kosinus-Funktion oder der Vektor (1, 0, 0) des dreidimensionalen reellen Raumes. Die Mathematik kann diese Werkzeuge modellieren − in ihre Welt spiegeln − und untersuchen, welche Punkte der Ebene sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen. Aber sie verwendet „Zirkel“, „Lineal“, „Papier“ nicht in ihr Definition eines Kreises. Sie definiert einen Kreis als eine Menge von Punkten, die von einem gewissen Punkt einen bestimmten Abstand haben. Damit kann die Mathematik arbeiten und Kreise in einer viel umfassenderen Weise verstehen als auf der Anschauungsebene der Realität. Viele Mathematiker wollen dies und nicht mehr erreichen, sie leben glücklich unter der Sonne der Abstraktion. Aber zum Wunder der Mathematik gehört auch, dass der Weg ins Ideelle durch ein magisches und nicht gut verstandenes Zusammenspiel mit den Naturwissenschaften und der Technik wieder in die Realität zurückführt und dort ungeahnte Anwendungen ermöglicht. Zu den Sternen und wieder zurück − zum eigenen Stern.

Beispiele sind keine Definition

 Eine mathematische Definition verwendet keine Beispiele. Die Aussage:

„Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11 sind zum Beispiel Primzahlen.“

ist richtig, aber keine Antwort auf die Frage, was eine Primzahl ist. Gleiches gilt für:

„Primzahlen wurden bereits von den alten Griechen untersucht.“

Das Erklären der Bedeutung eines Begriffs durch die Aneinanderreihung von Beispielen und Fakten ist in der Umgangssprache häufig zu finden, auch mangels der Existenz einer genauen Definition. In der Mathematik definieren wir prinzipiell nicht mit Hilfe von Beispielen und geschichtlichen Ereignissen. Beispiele kommen nach einer Definition, nicht in der Definition. Geschichtliche Ereignisse können eine sehr wichtige Dimension des mathematischen Erzählens und Erklärens darstellen, in Definitionen haben sie nichts zu suchen.

Hierarchischer Aufbau

 Eine mathematische Definition ist nicht nur fachsprachlich korrekt und eindeutig, sondern sie ordnet sich auch klar in die Hierarchie des mathematischen Gesamtgebäudes ein. Dies bedeutet:

1.  Eine Definition verwendet nur Objekte, deren Existenz nachgewiesen ist.

2.  Eine Definition verwendet nur Begriffe, die bereits definiert sind.

Eine Definition darf sich nur auf Axiome, bereits bewiesene Sätze und bereits definierte Begriffe stützen. Zur Illustration dieser Anforderungen betrachten wir die folgende Definition der Quadratwurzel der Zahl 2:

 Eine äquivalente Formulierung lautet:

Die Definition führt eine neue Konstante ein. Wenn künftig $\sqrt{2}$ verwendet wird, wissen wir, dass nach Definition $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 2 gilt.

 Vor dieser Definition muss bewiesen worden sein, dass es genau eine reelle Zahl mit der geforderten Eigenschaft gibt. Ein allgemeiner Satz hierzu lautet:

Dieses Ergebnis ist keineswegs trivial (und in den rationalen Zahlen nicht gültig!). Zum Beweis wird eine Folge rationaler Zahlen y₁, y₂, y₃, … konstruiert, deren Grenzwert y die gewünschte Eigenschaft besitzt. Entsprechende Konstruktionen wurden bereits in der Antike entdeckt, der Leser kennt vielleicht das Heron-Verfahren zur approximativen Wurzelberechnung aus der Schule.

 Der zweite Aspekt des hierarchischen Aufbaus betrifft die in einer Definition verwendeten Begriffe. Sie müssen allesamt bereits definiert sein, sodass ihre Definitionen auf Wunsch nachgereicht werden können. In unserem Beispiel der Quadratwurzel aus 2 wären dies die Begriffe

reelle Zahl, positiv, Quadrat einer reellen Zahl

Dabei dürfen keine Zirkel entstehen, die Wurzeln mit Quadratzahlen und Quadratzahlen mit Wurzeln erklären. Oder Primzahlen mit Teilern und Teiler mit Primzahlen. Oder Funktionen mit Abbildungen, Abbildungen mit Zuordnungen und schließlich Zuordnungen mit Funktionen.

Wie oft darf ich nach nachfragen?

 Beliebig oft. Prinzipiell kann das eben angesprochene Nachreichen von Definitionen bei der heutigen Fundierung der Mathematik durch die Mengenlehre soweit getrieben werden, dass wir schließlich bei der leeren Menge und den in einer formalen Kunstsprache formulierten Axiomen der Mengenlehre ankommen. Das ist ein sehr interessanter Weg voller großartiger Entdeckungen. Es ist aber auch ein sehr langer und schwieriger Weg, der seine eigenen Ziele verfolgt und bei dem mathematische Erfahrungen sehr hilfreich sind. Um also ohne große Umschweife zu den Ergebnissen einer mathematischen Disziplin wie der elementaren Zahlentheorie zu gelangen, wird ein Grundbestand an mathematischen Objekten einfach vorausgesetzt. Das ist aus wissenschaftlicher Sicht naiv, aber aus didaktischer Sicht klug. In unserer Definition einer Primzahl haben wir angenommen, dass die natürlichen Zahlen samt Arithmetik und Ordnung bekannt sind. Die natürlichen Zahlen sind in diesem Sinne bereits da und müssen nicht definiert werden. In der elementaren Zahlentheorie genügen naive Anschauungen über Zahlen und Mengen. Es ist gut möglich (und erwünscht), dass sich diese Anschauungen durch das Studium der Mathematik verändern und irgendwann kritisch hinterfragt werden. Der Leser wird dann vielleicht fragen:

An dieser Stelle kann der Weg zu den Grundlagen der Mathematik beschritten werden. Aber weder ein Anfänger noch ein erfahrener Zahlentheoretiker muss unbedingt wissen, wie die natürlichen Zahlen in der axiomatischen Mengenlehre eingeführt werden. Intuition und Nachahmung führen auch in der Mathematik sehr weit. Man muss irgendwo anfangen, aber nicht immer bei Adam und Eva. Das zeigt auch ein Blick in die Geschichte. Die logischen Grundlagen (und die Grenzen) der Zahlentheorie wurden erst im 20. Jahrhundert ans Licht gebracht, als es bereits einen riesigen Wissensbestand gab. Viele große und schwer zu beweisende Sätze über Primzahlen erscheinen in der Zeittafel der Mathematik vor der exakten Definition der natürlichen Zahlen. Weit vor den Axiomen der Mengenlehre und dem formalen Beweisbegriff der mathematischen Logik.

Feinheiten

 Auch bei gegebenen Grundobjekten sind oft noch Klarstellungen nötig wie zum Beispiel die Beantwortung der Frage, ob wir die Zahl Null als natürliche Zahl ansehen möchten oder nicht. Wir wollen es für diesen Text tun, sodass die natürlichen Zahlen also die Form

0,  1,  2,  3,  4,  5,  …

besitzen. Für den Primzahlbegriff spielt diese Konvention keine Rolle. In unserer Definition der Teilbarkeit ist jedoch die Null zugelassen. Wegen 0 · 4 = 0 ist nach Definition die 4 ein Teiler der Null. Allgemein ist jede natürliche Zahl n, auch die Null selbst, ein Teiler der Null. Wer das nicht möchte, kann die Null auch ausschließen und die Teilbarkeit nur für natürliche Zahlen n ≥ 1 einführen.

 Viele Zahlentheoretiker fangen bei der 1 mit dem Zählen an, sodass die Null nicht als natürliche Zahl gilt. Die alten Griechen haben oft bei 2 angefangen und die Einheit 1 nicht als natürliche Zahl angesehen. Letztendlich führen alle Varianten zur selben mathematischen Theorie, die wichtigen Ergebnisse der Zahlentheorie sind von diesen Konventionen vollkommen unabhängig. (Der Leser vergleiche hierzu auch den Essay über die „Eins als Primzahl“.)

Was leisten unsere Definitionen?

 Exakte fachsprachliche Definitionen haben in der Mathematik zwei Hauptfunktionen:

 Zum einen klären sie Zweifelsfälle und unterstützen so die Harmonie der Mathematik. Was ein Teiler und ein Vielfaches ist, weiß man mehr oder weniger genau aus der Schule. Aber erst eine genaue Definition klärt die Fragen, ob die Eins ein Teiler der Eins und ob die Null ein Teiler der Null ist oder nicht. Nach unserer Definition ist dies der Fall. Umgangssprachlich gilt das Ganze ja oftmals nicht als Teil, sodass die Frage, ob die Eins ein Teiler der Eins ist ja keineswegs überflüssig ist. Und in der Schule lernt man, dass man durch Null nicht teilen kann. Nach unserer Definition ist aber die Null ein Teiler der Null, da 0 · 0 = 0. Dies ändert nichts daran, dass zum Beispiel die Divisionen 0/0 oder 1/0 nicht erklärt sind.

 Zum anderen werden exakte Definitionen benötigt, wenn wir etwas über die definierten Begriffe beweisen wollen. Wie sollten wir das tun, wenn wir gar nicht genau wissen, worum es geht? Definitionen sagen uns, was wir verwenden dürfen, wenn wir versuchen, Eigenschaften über Begriffe nachzuweisen oder zu widerlegen. Sie geben uns bereits erste Eigenschaften über die Begriffe an die Hand, die per definitionem gelten und damit nicht bewiesen werden müssen. Die Eigenschaft $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 2 ist eine derartige Eigenschaft: Sie gilt nach Definition und muss daher nicht bewiesen werden.

 Wir hatten oben geschrieben: Mathematiker definieren, um zu beweisen. Wir können ergänzen: Sie müssen es tun, um beweisen zu können. Die ersten Sätze einer mathematischen Theorie sind die direkten Folgerungen aus den Definitionen. Später werden vor allem bereits bewiesene Sätze eingesetzt, um neue Sätze zu beweisen und neue interessante Begriffe zu finden. Aber die Definitionen sind es, die mathematische Welten eröffnen.

Definitionen als Abkürzungen

 Eine sehr natürliche und auch der Perspektive der mathematischen Logik entsprechende Sicht ist es, eine Definition einfach als Abkürzung (oder „Makro“) anzusehen. In die Aussage

„Die Zahl 7 ist ein Teiler der Zahl 63.“

können wir die Definition eines Teilers einsetzen. Wir erhalten dann:

„Es gibt eine natürliche Zahl k mit k · 7 = 63.“

In dieser Aussage kommt der Begriff „Teiler“ nicht mehr vor. Gleiches gilt für Primzahlen. In die Aussage

„Die Zahl 7 ist eine Primzahl.“

können wir die Definition einer Primzahl einsetzen und gleichwertig schreiben:

„Es gibt keine natürlichen Zahlen k, d < 7 mit k · d = 7.“

Bei dieser Sicht erscheint die Mathematik als eine lebendige Sprache, die ständig um neue Worte erweitert wird. Die neuen Worte erleichtern es, komplexe Aussagen prägnant zu formulieren. Prinzipiell entsteht dadurch nichts Neues, da wir in einer Aussage ohne inhaltliche Veränderung ein Wort durch seine Definition ersetzen können. In der mathematischen Tätigkeit spielt die Zusammenfassung von alten Worten zu einem neuen Wort dagegen eine Schlüsselrolle. Mathematiker denken und arbeiten in einer reichen Sprache. Sie ersetzen einen Begriff durch seine Definition nur dann, wenn es in einem Beweis nötig ist. Bevorzugt wird in Beweisen das Wissen über einen Begriff verwendet und nicht seine Definition. Aus der Information „Sei n > 2 eine Primzahl.“ schließen wir, dass n ungerade ist, da wir wissen, dass die Zahl 2 die einzige gerade Primzahl ist. Für diesen Schluss ist die Kenntnis der Definition einer Primzahl dann nicht mehr nötig. Aber alles Wissen über Primzahlen wurde letztendlich aus dieser Definition abgeleitet. Zum Beweis des Satzes: „Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl.“ ziehen wir die Definition einer Primzahl direkt heran. Ausführlich notiert lautet das Ergebnis und sein Beweis:

 Der Satz ist natürlich nicht besonders aufregend, und in den meisten Lehrbüchern wird auf einen Beweis verzichtet. Wir möchten aber exemplarisch vor Augen führen, dass und wie eine „offensichtliche“, „klare“ oder „triviale“ Aussage über Primzahlen bewiesen werden kann: durch das Einsetzen der Definition einer Primzahl. Im Englischen wird dieser Vorgang manchmal als „proof by unravelling definitions“ bezeichnet. Um eine Aussage zu beweisen, ersetzt man die Begriffe und Objekte, um die es geht, durch ihre Definitionen (und wiederholt dies eventuell). Diese Methode führt nur bei sehr einfachen Aussagen zum Ziel, die keine Beweisidee benötigen. Dass die Zahl 2 die einzige gerade Primzahl ist, lässt sich so beweisen, der Satz des Euklid dagegen nicht. Er benötigt eine Beweisidee, die wir kurz als „Multipliziere alles und addiere Eins.“ zusammengefasst haben. Diese Idee steckt nicht in den Definitionen.

 Dem aufmerksamen Leser wird vielleicht aufgefallen sein, dass wir den Begriff gerade Zahl stillschweigend verwendet haben. Wir reichen eine Definition gerne nach: Eine natürliche Zahl n heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist. Gleichwertig: Wenn sie ein Vielfaches der 2 ist. Damit ist eine Zahl n genau dann gerade, wenn es eine natürliche Zahl k gibt mit n = 2 · k. Diese definierende Eigenschaft einer geraden Zahl verwenden wir im Beweis.

Die Sprache der Mathematik im Vergleich zur Umgangssprache

 Vergleichen wir die Sprache der Mathematik mit einer natürlichen Sprache wie etwa Deutsch oder Englisch, so können wir wichtige Gemeinsamkeiten und Unterschiede feststellen. Beide Sprachen verwenden eine Vielzahl von Begriffen, um das, was sie ausdrücken möchten, in mitteilbarer − und das heißt in der Regel kurzer − Form auszudrücken. In einer natürlichen Sprache gibt es mehr oder weniger genaue Beschreibungen der Bedeutung eines Worts, und diese Beschreibungen sind nicht selten zirkulär. Das funktioniert in der Umgangssprache überraschend gut. Wir können das Wort „Tisch“ erfolgreich verwenden und in andere Sprachen übersetzen, obwohl es keine exakte Definition von „Tisch“ gibt. In der Mathematik wird dagegen alles exakt definiert (auf der Grundlage von wenigen, als gegeben betrachteten oder axiomatisch beschriebenen Grundbegriffen). Das liegt, wie wir oben gesehen haben, am Hauptziel der Mathematik: Sie möchte beweisen und braucht hierzu kristallklare Begriffe.

 Die Mathematik ist seit jeher Vorbild im Definieren. In Platons Dialog Theaitetos gelingt es allen Beteiligten nicht, den Begriff „Erkenntnis“ in befriedigender Weise zu definieren. Dabei wird von Beginn an Bezug auf die Mathematik genommen, in der das Definieren in der erwünschten Genauigkeit möglich ist. Die Klarheit der Mathematik wird also bereits in der antiken Philosophie schmerzlich vermisst.

Zum Schluss

 Dieser Essay ist viel länger geworden als gedacht. Die Angelegenheit ist recht verwickelt, und vielleicht hat sich der Autor zu sehr in die Schwierigkeiten des Themas, die sich am Beispiel der Primzahlen zeigen, aber prinzipiell nichts mit Primzahlen zu tun haben, hineinziehen lassen. Der Vorteil von Essays ist aber, dass der Stil häufig wechseln kann. Es möge also jeder Leser sich das heraussuchen, was ihm zusagt. Nach der Lehrerfahrung des Autors bereiten aber gerade die exakten fachsprachlichen Definitionen der Mathematik dem Anfänger und Laien große Schwierigkeiten, sodass einige allgemeine Kommentare hierzu vielleicht hilfreich sind. Der Ratschlag des Autors an jeden, der sich der Mathematik nähern möchte, lautet: Lerne keine Definitionen, sondern lerne, Definitionen zu lieben. Sie sind etwas ganz Wunderbares, das es außerhalb der Mathematik in dieser strahlenden Form nicht gibt. Das Gleiche gilt für Sätze und Beweise. Die Mathematik verlangt von uns nicht nur eine intellektuelle, sondern auch eine emotionale Annäherung und Öffnung. Sie verlangt, dass wir uns ändern, wenn wir zu ihr kommen wollen und dabei auf Schwierigkeiten stoßen.