4. Beispiele und Experimente

Nach einer Definition können wir uns Beispiele und Gegenbeispiele überlegen, die uns helfen, mit einem neuen Begriff vertraut zu werden. Für die Primzahlen könnten wir angeben:

 Diese Beispiele laden uns nun zum Spielen und Experimentieren ein:

Lassen wir alle Primzahlen zu, so erhalten wir Zahlen der Form

(+)  2^e₁ 3^e₂ … p_n^e_n,  mit der n-ten Primzahl p_n und Exponenten e₁, …, e_n ≥ 0.

Dies liefert alle Zahlen, da sich jede Zahl durch wiederholtes Abspalten ihres kleinsten Primteilers wie in (+) schreiben lässt. Auch dieses Verfahren können wir exemplarisch illustrieren:

 Wir entdecken auf diese Weise auch die Frage nach der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl. Sie gilt, ist aber keineswegs leicht zu beweisen. Es mag schwer vorstellbar sein, wie sich die Zahl 20758 abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren anders als

20758  =  2 · 2 · 3 · 7 · 13 · 19

darstellen ließe. Aber in der Mathematik muss alles bewiesen werden, wenn es nicht als Axiom (als unbewiesene Grundannahme, als „Satz ohne Beweis“) gelten soll. Und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung wollen wir sicher nicht als Axiom ansehen. Wenn der Leser jetzt neugierig geworden ist, wie man das beweisen kann, ist das großartig. Er kann weiterlesen oder zum Abschnitt über die Primfaktorzerlegung springen, in dem wir die Frage ausführlich diskutieren und verschiedene Beweise des Fundamentalsatzes der Zahlentheorie vorstellen. (In diesem Text gibt es keine Spoiler, nichtlineare Lektüre ist immer möglich, und zwar sowohl ungeduldig vorwärts als auch wiederholend rückwärts.)

 In einem anderen spielerischen Experiment verfolgen wir das Ziel, systematisch alle zusammengesetzten Zahlen über Vielfache zu erzeugen:

Beispiele und Experimente können wir nicht nur zu Definitionen durchführen, sondern auch zu Sätzen und ihren Beweisen:

 Diese Überlegungen werfen die Frage auf, ob und wann die im Beweis von Euklid konstruierte Zahl selbst prim ist oder nicht. Wir diskutieren diese Frage im Essay über Euklidische Zahlen, fügen aber gleich an dieser Stelle hinzu, dass sie bis heute weitestgehend unbeantwortet ist.

 Der Satz des Euklid besagt, dass es keine größte Primzahl gibt und führt so zur sportlich-kompetitiven Suche nach immer größeren Primzahlen und neuen Primzahlrekorden. Auch wenn den Zahlen für sich keine große Bedeutung zukommt, so spielen doch große Primzahlen in der Kryptographie eine sehr wichtige Rolle. Damit geht es mehr um die Methoden, große Primzahlen zu erzeugen und nicht so sehr um die Rekorde. Wie auch immer:

Dabei steht GIMPS für die 1996 von George Woltman begründete „Great Internet Mersenne Prime Search“; die angegebene Primzahl wurde 2018 von Patrick Laroche gefunden. Die Mersenne-Zahlen sind die Zahlen der Form

M_n  =  2ⁿ − 1  für n ≥ 1.

Sie sind klassische Kandidaten für Primzahlen. Ist M_n prim, so heißt M_n eine Mersenne-Primzahl. Hierfür ist es notwendig, dass der Exponent n selbst prim ist. Denn ist n = k · m mit k, m ≥ 1, so gilt mit a = 2^k, dass

2ⁿ − 1  =  2^km − 1 =  (2^k)^m − 1  =  a^m − 1  =  (a − 1) (a^m − 1 + a^m + …  +  a¹ + 1),

wie sich der Leser durch Ausmultiplizieren der rechten Seite vor Augen führen möge. Diese Rechnung zeigt, dass M_n im Fall a > 2 zusammengesetzt ist, d. h. wenn k > 1. Folglich kann M_n nur dann prim sein, wenn n prim ist. Die Umkehrung ist nicht gültig. Die Zahlen

M₂  =  2² − 1  =  3,  M₃  =  2³ − 1  =  7,  M₅  =  2⁵ − 1  =  31,  M₇  =  127

sind prim. Jedoch gilt M₁₁ = 2¹¹ − 1 = 2047 = 23 · 89.

Insgesamt halten wir fest: Das spielerische Experimentieren führt nicht nur zu einer Vertrautheit mit Objekten und Notationen, sondern auch zu mathematischen Entdeckungen und Fragen.

Didaktische Fragen

 Viele Leser und viele Studenten der Mathematik wünschen sich viele Beispiele. Helfen diese Beispiele? Und wenn ja: Wie helfen Sie? Den uneingeschränkten didaktischen Wert von Beispielen kann man durchaus anzweifeln, da durch ausgearbeitete Beispiele der Leser nicht mehr aufgefordert ist, sich einen mathematischen Begriff oder Satz eigenständig anzueignen. Es ist von vorneherein nicht klar, dass es langfristig besser ist, wenn dieser Aneignungsprozess durch Beispiele allzu sehr erleichtert wird. Sich in Eigenregie Beispiele und Gegenbeispiele zu einem Begriff, einem Satz oder einem Beweis zu überlegen und mit ihnen zu spielen und zu experimentieren ist ein Eckpfeiler des mathematischen Arbeitens. Weiter braucht das Durcharbeiten von Beispielen Zeit, die vielleicht besser in das Studium von zentralen Beweisen fließen sollte. Diesen berechtigten Einwänden stehen viele positive Aspekte gegenüber, und das eigenständige Erstellen von Beispielen muss man ja auch erst einmal lernen − anhand von Beispielen. Man wird viele Leser verlieren, wenn man mit Beispielen knausert. Sie können eine Machete im Dschungel der Abstraktion sein. Kurzum: Beispiele sind oft gut und meistens auch schön, aber wie immer nur mit Eigenarbeit. Auch dieses Buch enthält viele Beispiele. Der Autor rät, sie nicht nur als Ausstellung, durch die man erfreut, aber passiv schlendert, zu betrachten. Erst wenn sie das Interesse fördern und zur Eigenarbeit anregen haben sie ihren Zweck erfüllt.

 Neben den einfachen illustrierenden Beispielen gibt es Beispiele, die zum mathematischen Grundwissen gehören und daher ein Recht auf eine explizite Behandlung geltend machen können. Sie sind mehr als nur Schmuck und Erläuterung. Sie bereichern die Theorie und werden zum Ausgangspunkt für weitere Fragen und Untersuchungen. Im Umfeld der Primzahlen wären die oben schon erwähnten Euklidischen Zahlen zu nennen. In der Analysis gehören die nicht differenzierbare Betragsfunktion und die nicht integrierbare Dirichletsche Sprungfunktion zu diesem Typ.

Die logische Stellung von Beispielen

 Ihrer mathematischen Natur nach sind Beispiele und Gegenbeispiele letztendlich Sätze − und also im Trio „Definition, Satz, Beweis“ enthalten. Die Aussagen

„Die Zahl 2 ist eine Primzahl.“

„Die Zahl 10 ist eine zusammengesetzte Zahl.“

sind beweisbar und damit Sätze. Sie werden aber nicht als Sätze empfunden. In der Organisation und Darstellung des mathematischen Wissens verdienen die Beispiele sicher eine eigene Kategorie. Analoges gilt für die Experimente. Die Aussage

„Genau 34 der Zahlen von 1 bis 100 sind in der Form 2^k 3^m darstellbar.“

ist ein mathematischer Satz.

 Beispiele und Experimente dieser Art liefern vielleicht keine interessanten Sätze, die wir anderswo anwenden könnten, aber sie können uns in spielerischer und leichter Form die mathematische Wirklichkeit ein Stück weit vor Augen führen, bevor wir beginnen, sie durch eine systematische Theorie tiefer zu ergründen.