6. Der kombinatorische Beweis von Joseph Perott

Wir betrachten noch eine mit der Argumentation von Erdös verwandte kombinatorische Zählung. Sie wurde von Joseph Perott bereits 1881 gefunden, das sehr schöne Argument hat aber offenbar nur wenig Beachtung gefunden. Entscheidendes Hilfsmittel ist diesmal die Konvergenz der Reihe ∑_n ≥ 1 1/n² der reziproken Quadratzahlen und genauer der kleine Wert der Reihe. Folgender Begriff ist nützlich:

 Die Zahl 1 spielt eine Sonderrolle: Sie ist die einzige Quadratzahl, die quadratfrei ist. Genauer sollten wir also „primzahlquadratfrei“ sagen, was aber umständlich wäre. Unter Verwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gilt, dass eine natürliche Zahl n ≥ 2 genau quadratfrei ist, wenn alle Exponenten der Primfaktorzerlegung von n gleich 0 oder 1 sind. Lassen wir die leere Zerlegung oder Zerlegungen der Form 1 = 2⁰ = 2⁰ · 3⁰ = … zu, so gilt dies auch für die 1.

 Im zweiten kombinatorischen Beweis haben wir von einer Zahl eine größtmögliche Quadratzahl abgespalten, um sie als Produkt einer Quadratzahl und einer quadratfreien Zahl zu schreiben. Speziell ist 1 = 1² · 1 eine solche Zerlegung, was die Doppelrolle der Eins als Quadratzahl und als quadratfreie Zahl widerspiegelt. Weiter haben wir verwendet, dass es höchstens 2^k quadratfreie Zahlen gibt, die sich mit Hilfe von Primzahlen p₁ < … < p_k darstellen lassen. Denn jede derartige Darstellung hat die Form p₁^e₁ … p_k^e_k mit Exponenten in { 0, 1 }. Aufgrund der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gibt es sogar genau 2^k solche Zahlen. Zusammen mit der Beobachtung, dass in einem Intervall { 1, …, n² } nur wenige, nämlich n, Quadratzahlen existieren, ergab sich ein Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen.

 Nun verfolgen wir einen anderen Weg: Wir übernehmen die Abschätzung „höchstens 2^k“ der quadratfreien mit p₁, …, p_k darstellbaren Zahlen. Als Kontrast zeigen wir jetzt, dass es in jedem Intervall { 1, …, n } mehr als n/3 quadratfreie Zahlen gibt. Ist also n derart, dass n/3 ≥ 2^k, so gibt es eine quadratfreie Zahl in { 1, …, n }, die sich nicht mit p₁, …, p_k darstellen lässt. Damit ist erneut gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung wird nicht verwendet.

 Für unsere Argumentation brauchen wir eine Abschätzung für die Summe

∑_n ≥ 2 ¹_n²  =  ¹₄  +  ¹₉  +  ¹₁₆  +  …

der reziproken Quadratzahlen ab 1/4. Nach einem nichttrivialen, berühmten und wunderschönen Ergebnis von Euler gilt

∑_n ≥ 1 ¹_n²  =  ^π2₆,  sodass  ∑_n ≥ 2 ¹_n²  =  ^π2₆  −  1  =  0,64…  <  ²₃.

Diese Abschätzung wird in der Arbeit von Perott aus dem Jahr 1881 als bekannt vorausgesetzt. Wir können sie erfreulicherweise elementar ohne die Verwendung des π²/6-Satzes von Euler erhalten, indem wir den Standardbeweis der Konvergenz der Reihe analysieren. Es gilt:

(+)  ¹_{(n + 1)²}  <  ¹_{n(n + 1)}  für alle n ≥ 1.

Die Partialsummen t_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} 1/(k (k + 1)) der Reihe ∑_n ≥ 1 1/(n (n + 1)) lassen sich überraschend einfach berechnen. Eine Induktion nach n zeigt, dass

t_n  =  ⁿ_n + 1  für alle n ≥ 1.

Damit hat die Reihe den Wert lim_{n → ∞} t_n = 1. Für die Partialsummen u_n der Reihe ∑_n ≥ 1 1/(n + 1)² gilt also nach (+), dass

u_n  <  t_n  =  ⁿ_n + 1  <  1  für alle n ≥ 1.

Um bessere Abschätzungen zu erhalten, spalten wir Partialsummen ab. Es gilt

∑_n ≥ 1 ¹_(n + 1)²  <  u_n0  +  ∑_n > n0 ¹_{n(n + 1)}  =  u_n0  +  1 − t_n0  =  u_n0 + ¹_n0 + 1

für alle n₀ ≥ 1. Die rechte Seite berechnet sich für n₀ = 1, 2, 3, 4 zu

³₄,  ²⁵₃₆,  ⁹⁷₁₄₄,  ²³⁸⁹₃₆₀₀.

Der letzte Bruch ist kleiner als 2/3, sodass wir gezeigt haben:

Das folgende Diagramm illustriert die betrachteten unendlichen Reihen.

 Nach diesen Vorbereitungen können wir nun sehr leicht zeigen:

 Hieraus folgt (wie bereits oben diskutiert):

 Mit etwas mehr Rechenaufwand können wir die gewonnene Abschätzung noch verbessern:

 Für die darstellbaren Zahlen ergibt sich:

 Ist n ≥ 1 gegeben und sind p₁ < … < p_k alle Primzahlen in { 1, …, n }, so gilt

n  =  D(p₁, …, p_k; n)  <  2^k + n/2  mit  k = π(n).

Damit ist

n/2  <  2^π(n).

Anwendung des Logarithmus zur Basis 2 liefert:

 Damit haben wir unsere bisherigen Ergebnisse noch einmal verbessert!

Die Anzahl der quadratfreien Zahlen

 Wir konnten mit unseren Überlegungen die Abschätzung „mehr als n/2“ für die Anzahl der quadratfreien Zahlen kleinergleich n zeigen. Eine Computerberechnung liefert die folgenden Werte:

Die Anzahl der quadratfreien Zahlen ist eng mit der Summe der reziproken Quadratzahlen und ihrem von Euler entdeckten Wert

∑_n ≥ 1 ¹_n²  =  ^π2₆

verbunden. Das Inverse dieses Werts berechnet sich numerisch zu

⁶_π²  =  0,6079271018540266…

Der Leser vergleiche dies mit der obigen Tabelle. In der Tat lässt sich mit etwas weitergehenden Methoden der Zahlentheorie beweisen, dass die relative Häufigkeit der quadratfreien Zahlen kleinergleich n gegen 6/π² konvergiert, wenn n gegen unendlich strebt.

 Wir betrachten schließlich noch die Summe der reziproken Primzahlquadrate. Eine numerische Berechnung liefert den Wert

∑_{p prim} ¹_p²  =  0,4522474200410654…

Dieser Wert ist eine Abschätzung nach oben für die relative Häufigkeit der Zahlen, die ein Quadrat enthalten, sodass wir eine Abschätzung nach unten von

1  −  ∑_{p prim} ¹_p²  =  0,5477525799589345…

für die relative Häufigkeit der quadratfreien Zahlen erhalten. Dass dieser Wert etwas unter dem korrekten Wert 6/π² liegt, lässt sich so erklären: In unserer Abschätzung tragen Zahlen, die mehrere verschiedene Quadrate enthalten (wie zum Beispiel 4 · 9 = 36 und 3 · 4 · 9 = 108), mehrfach zur Summe bei. Dadurch entsteht ein Fehler von etwa 5%.