1. Das Wachstum der harmonischen Reihe

Wir haben mit Hilfe des Euler-Produkts

∏_{p prim} ¹_1 − 1/p

einen überraschenden Zusammenhang zwischen der harmonischen Reihe

1 + ¹₂ + ¹₃ + … + ¹_n + …

und den Primzahlen entdeckt. Die Divergenz der harmonischen Reihe ist äquivalent zur Unendlichkeit des Produkts und damit zur Unendlichkeit der Primzahlen. Genauer zeigt unsere Überlegung (unter Verwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung):

Satz (endliche Euler-Produkte)

Für alle Primzahlen p₁ < … < p_k gilt:

∏_{1 ≤ i ≤ k} ¹_{1 − 1/p_i} = ∑_{n ist darstellbar mit p₁, …, p_k} ¹_n.

Das Produkt auf der linken Seite hat nur endlich viele Faktoren, die Summe auf der rechten Seite hat dagegen unendlich viele Summanden, d. h. sie ist eine unendliche Reihe. Denn alle Potenzen p₁, p₁², p₁³, … sind darstellbar mit Hilfe von p₁, …, p_k, und das Gleiche gilt für p₂, …, p_k und beispielsweise auch für die Potenzen des Produkts p₁ … p_k.

Im Fall k = 1 ist das Ergebnis ein Spezialfall des Satzes über die Konvergenz der geometrischen Reihe (mit q = 1/p). Für k = 2 erhalten wir rechts die Summanden 1/(p₁^e₁p₂^e₂) mit beliebigen Exponenten e₁, e₂ ≥ 0. Der Leser möge sich anhand dieses Falls den Beweis des Satzes über das Euler-Produkt noch einmal vor Augen führen: Die beiden Faktoren des Produkts werden durch unendliche geometrische Reihen mit q₁ = 1/p₁ und q₂ = 1/p₂ ersetzt. Das distributive Ausmultiplizieren dieser Reihen liefert die Summe auf der rechten Seite.

Je mehr Primzahlen wir in das Produkt aufnehmen, desto mehr Summanden entstehen. Sind p₁ < … < p_k alle Primzahlen in einem Intervall { 1, …, n }, so gilt

∏_{1 ≤ i ≤ k} ¹_{1 − 1/p_i} ≥ ∑_k ≤ n ¹_k.

Die Summe auf der rechten Seite ist eine Partialsumme der harmonischen Reihe.

Aufgrund dieser Zusammenhänge ist es nur natürlich, das Wachstum der harmonischen Reihe genauer zu untersuchen. An dieser Stelle kommt die Logarithmusfunktion log : ] 0, ∞ [ → ℝ zur Basis e ins Spiel, und die Basis e kann hier durch keine andere Basis ersetzt werden. Euler zeigte 1740:

Satz (Wachstum der harmonischen Reihe)

Die Partialsummen s_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} 1/k der harmonischen Reihe wachsen bis auf eine Konstante wie der Logarithmus. Genauer gilt: Es gibt eine reelle Zahl γ  ∈  ] 0, 1 [ derart, dass

γ = lim_{n → ∞} (s_n − log(n)).

Zudem konvergiert die Differenzenfolge (s_n − log(n))_n ≥ 1 streng monoton fallend gegen γ (mit Startwert s₁ − log(1) = 1), während die Differenzenfolge (s_n − log(n + 1))_n ≥ 1 streng monoton steigend gegen γ konvergiert.

Die Konstante γ heißt die Euler-Mascheroni-Konstante. Es gilt

γ = 0,577215664901532860606512090082402431042159…

Bevor wir den Satz beweisen, illustrieren wir die beteiligten Summen und Funktionen durch Diagramme.

Die Partialsummen s_n der harmonischen Reihe (rote Punkte) im Vergleich mit den Funktionen log(x) und log(x) + γ

Zur monotonen Konvergenz der Differenzenfolgen (s_n − log(n))_n ≥ 1 (gelb) und (s_n − 1 − log(n))_n ≥ 1 (grün) gegen γ (mit s₀ = 0).

Zum Beweis des Satzes über die Euler-Mascheroni-Konstante betrachten wir die Hyperbel 1/x auf dem Intervall [ 1, ∞ [ und die darüberliegende Stufenfunktion g auf demselben Intervall mit

g(x) = ¹_⌊x⌋ für alle x ≥ 1.

Dabei ist wieder ⌊ · ⌋ : ℝ → ℝ die Floor-Funktion mit

⌊x⌋ = „das größte n  ∈  ℤ mit n ≤ x“ für alle x  ∈  ℝ.

Die beiden Funktionen 1/x und 1/⌊x⌋ definieren eine unbeschränkte eingeschlossene Fläche, die aus endlichen Flächen mit den Inhalten

A₁, A₂, A₃, …, A_n, …

besteht, vgl. das folgende Diagramm. Wir setzen

A = A₁ + … + A_n + …

Wir zeigen nun, dass A endlich ist und dass genauer

A = lim_{n → ∞} (s_n − log(n)) = lim_{n → ∞} (s_n − 1 − log(n))

in streng monoton fallender bzw. steigender Form. Dies zeigt, dass A = γ mit γ wie im Satz. Damit haben wir nicht nur den Satz bewiesen, sondern auch eine anschauliche Flächeninterpretation der Euler-Mascheroni-Konstanten ans Licht gebracht. Die Zahl γ ist der Gesamtfehler, der entsteht, wenn wir in der Hyperbel 1/x die Stellen x runden und stattdessen mit 1/⌊x⌋ rechnen. Diese Werte sind die Summanden der harmonischen Reihe.

Für alle n ≥ 1 gilt

A_n ≤ g(n) − g(n + 1) = ¹_n − ¹_n + 1 = ¹_n(n + 1).

Die Partialsummen der unendlichen Reihe ∑_n ≥ 1 1/(n (n + 1)) berechnen sich induktiv zu n/(n + 1), sodass

A = ∑_n ≥ 1 A_n ≤ ∑_n ≥ 1¹_n(n + 1) = lim_{n → ∞} ⁿ_n + 1 = 1.

Diese Abschätzung lässt sich auch leicht aus unserem Diagramm ablesen: Wir verschieben die Flächen A₁, A₂, …, A_n, … waagrecht nach links hin zur y-Achse, sodass sie disjunkte Teilmengen des Quadrats [ 1, 2 ] × [ 0, 1 ] bilden (das in unserem Diagramm aufgrund der unterschiedlichen Achsen-Skalierung verzerrt erscheint). Folglich ist die Gesamtfläche A aller A_n kleinergleich 1. Allgemeiner zeigt dieses Verschiebungsargument, dass

A_n + A_n + 1 + … ≤ 1 · 1/n = 1/n für alle n ≥ 1.

Hierzu verschieben wir alle A_i mit i ≥ n waagrecht nach links in das Rechteck [ n, n + 1 ] × [ 0, 1/n ].

Visualisierung der Euler-Mascheroni-Konstanten:

γ ist der Inhalt der blau dargestellten eingeschlossenen Fläche

Sei nun n ≥ 1 beliebig. Der Flächeninhalt A_n lässt sich als Differenzenfläche mit Hilfe von Integration berechnen und dies bringt den Logarithmus als Stammfunktion von 1/x ins Spiel. Es gilt

A_n	= ¹_n − ∫ⁿ⁺¹_n ¹_x dx = ¹_n − ${[log (x)]}_{n}^{n + 1}$
	= ¹_n − (log(n + 1) − log(n))
	= ¹_n − log(^n + 1_n) = ¹_n − log(1 + ¹_n).

Bei der Summation dieser Werte in der Form der zweiten Zeile entsteht eine Teleskopsumme, bei der sich die inneren Logarithmen gegenseitig aufheben und der Schlusswert wegfällt (wegen log(1) = 0). Es gilt

∑_{1 ≤ k ≤ n} A_k = ∑_{1 ≤ k ≤ n} (¹_n − (log(n + 1) − log(n))) = s_n − log(n + 1).

Dies zeigt, dass die Folge (s_n − log(n + 1))_n ≥ 1 streng monoton steigend gegen den Wert A = ∑_n A_n konvergiert. Genauer besteht die Folge aus den Partialsummen dieser Reihe. Es folgt

A = lim_n (s_n − 1 − log(n)) = lim_n (s_n − log(n) − 1/n) = lim_n (s_n − log(n)).

Um zu zeigen, dass die Folge (s_n − log(n))_n ≥ 1 monoton fällt, beobachten wir, dass

log(n + 1) − log(n) = ∫^n + 1_n ¹_x dx > ∫^n + 1_n ¹_n + 1 dx = ¹_n + 1

für alle n ≥ 1. Damit gilt für alle n ≥ 1, dass

(s_n − log(n)) − (s_n + 1 − log(n + 1)) = log(n + 1) − log(n) − ¹_n + 1 > 0.

Also konvergiert die Folge (s_n − log(n))_n ≥ 1 streng monoton fallend gegen A (was sich auch wieder anhand des obigen Diagramms anschaulich einsehen lässt). Damit ist der Satz über das Wachstum der harmonischen Reihe (mit γ = A) vollständig bewiesen. Zudem haben wir gezeigt:

Satz (Eulersche Summendarstellung von γ)

Es gilt

γ = ∑_n ≥ 1 (¹_n − log(1 + ¹_n)).

Beweis

Es gilt γ = ∑_n ≥ 1 A_n, sodass die Aussage aus obiger Berechnung von A_n folgt.

Eine weitere Darstellung ist:

Satz

Für alle n ≥ 1 gilt

∑_{1 ≤ k ≤ n} A_k = n − log(n + 1) − ∑_{1 ≤ k < n} ^k_k + 1,

sodass

γ = lim_{n → ∞} (n − log(n + 1) − ∑_{1 ≤ k < n} ^k_k + 1).

Beweis

Eine Induktion nach n ≥ 1 zeigt, dass

(+) s_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} ¹_k = n − ∑_{1 ≤ k < n} ^k_k + 1 für alle n ≥ 1.

Damit folgt die Behauptung aus der oben für alle n ≥ 1 bewiesenen Identität

∑_{1 ≤ k ≤ n} A_k = s_n − log(n + 1).

Die Darstellung (+) für die Partialsummen der harmonischen Reihe lässt sich auch geometrisch einsehen. Sei hierzu n ≥ 1. Dann ist die Partialsumme s_n der Inhalt der Fläche

⋃_{1 ≤ k ≤ n} [ k, k + 1 ] × [ 0, 1/k ],

die wie im obigen Diagramm aus n senkrechten Streifen der Breite 1 und Höhe 1, 1/2, …, 1/n aufgebaut ist. Diese Fläche können wir aber auch in n waagrechte Streifen aufteilen und in der Form

⋃_{1 ≤ k < n} [ 1, k ] × [ 1/k, 1/(k + 1) ] ∪ [ 1, n ] × [ 0, 1/n ]

darstellen. Der Flächeninhalt dieser Darstellung berechnet sich zu

∑_{1 ≤ k < n} k (¹_k − ¹_k + 1) + 1 = n − ∑_{1 ≤ k < n} ^k_k + 1.

Die Formel für die Partialsummen ∑_{1 ≤ ≤ n} A_k des Satzes lässt sich durch diese geometrische Interpretation aus obigem Diagramm ebenfalls direkt ablesen.