Das regelmäßige Pentagramm

 Die Idee der Verhältnismäßigkeit zweier beliebiger Größen war schön und fruchtbar, aber nicht richtig. Ironischerweise war es nun gerade das Ordenssymbol der Pythagoreer, das regelmäßige Pentagramm, an dem Hippasos seine erschütternde Entdeckung gemacht haben soll: Es enthält nämlich zwei Größen, deren Wechselwegnahme die Vielfachheitsfolge 1, 1, 1, … liefert, die also im irrationalen Verhältnis [ 1, 1, 1, …  ] zueinander stehen.

Wir wollen uns ein solches Pentagramm − auch Fünfstern oder Sternfünfeck genannt − einmal genauer ansehen.

 Pentagone (regelmäßige Fünfecke) lassen sich leicht in sich selbst reproduzieren: Aus einem Pentagon A₀B₀C₀D₀E₀ erhalten wir durch wiederholtes Einzeichnen aller Diagonalen neue Pentagone A_nB_nC_nD_nE_n (und Pentagramme A_nC_nE_nB_nD_n). Es seien nun a₀, a₁, a₂, … die Seitenlängen der Pentagone, und b₀, b₁, b₂, … die Längen ihrer Diagonalen, also etwa b₀ = A₀C₀, b₁ = A₁C₁, … Elementare geometrische Beobachtungen führen zu den Gleichungen:

 Setzen wir c_2n = b_n, c_2n + 1 = a_n, so ist 〈 c_n | n  ∈  ℕ 〉 eine monoton gegen 0 konvergierende Folge, und für alle n gilt c_n + 2  =  c_n − c_n + 1 und c_n/c_n + 1  =  c_n + 1/c_n + 2.

 Der Algorithmus von Euklid, angewendet auf b₀ und a₀, liefert also die Gleichungen (G₀), (G₁), …, (G_2n), (G_2n + 1), …, n  ∈  ℕ, wobei

Das Verfahren produziert also die Größen b_n und a_n der einbeschriebenen Pentagone A_nB_nC_nD_nE_n. Es terminiert nicht, und damit haben die beiden wesentlichen Größen b₀ und a₀ eines regelmäßigen Fünfecks kein rationales Verhältnis zueinander: b₀ und a₀ sind nicht kommensurabel! Das Aushängeschild der Pythagoreer enthält also ein zwar nicht offensichtliches, aber doch für jedermann sichtbares Gegenbeispiel zu einer der Hauptthesen der Gruppierung. Eine der großen Entdeckungen der Wissenschaft ist damit auch mit einem zeitlosen Witz verbunden.

 Das Verhältnis b₀/a₀ ist zu großem Ruhm in der Kunst, Architektur, Graphik und Typographie gelangt, und taucht keineswegs nur im Pentagramm auf. Aus der Identität

b₀/a₀  =  a₀/b₁  =  a₀/(b₀ − a₀)

gewinnt man die Gleichung x² − x − 1 = 0 mit x = b₀/a₀. Diese hat die positive Lösung g = ( $\sqrt{5}$ + 1)/2 ∼ 1,6180339887, bekannt als goldener Schnitt.

 Die Vielfachheits-Koeffizienten des Euklidischen Algorithmus für das Paar b₀ und a₀ sind konstant gleich 1. Es gilt also g = ($\sqrt{5}$ + 1)/2 = [ 1, 1, 1, … ] = lim_k → ∞ q_k + 1/q_k, mit der Fibonacci-Folge 〈 q_k | k  ∈  ℕ 〉.

 Mathematisch gewinnt man den goldenen Schnitt aus den Gleichungen x = 1 + 1/x oder x(x − 1) = 1, die zu obigem Polynom x² − x − 1 führen. Für den Kehrwert von g gilt 1/g = g − 1 = ($\sqrt{5}$ − 1)/2.

 Die vielleicht einfachste geometrische Konstruktion des goldenen Schnitts ist: Um die Strecke AC der Länge a im goldenen Schnitt zu teilen, bildet man ein rechtwinkliges Dreieck wie in der Figur, und trägt a/2 an der Hypotenuse von B aus ab. Den Rest b = a/2($\sqrt{5}$ − 1) der Hypotenuse überträgt man von A aus auf AC. Der Schnittpunkt D teilt dann AC im goldenen Schnitt. Das Verhältnis wird im Allgemeinen als harmonisch und interessant empfunden, im Gegensatz etwa zur langweiligen und kalten Halbierung. Es gilt b² = a(a − b). Spiegelt man den Punkt C an D, so teilt der Spiegelpunkt C′ die Strecke DA der Länge b wieder im goldenen Schnitt.

 Die Diskussion des Pentagramms wäre ohne eine Konstruktionsmethode noch unvollständig. Regelmäßige Polygone mit n Ecken, n ≥ 3, lassen sich nach einem berühmten Satz von Gauß genau dann mit Zirkel und Lineal konstruieren, wenn die ungeraden Primfaktoren von n alle nur einfach auftreten und zudem alle von der Form 2^2k + 1 sind. So sind regelmäßige Polygone mit 3, 6, 12, …, 4, 8, 16, …, 5, 10, 20, …, 15, 30, 60, …, 17, 34, 68, …, 51, …, 85, … Ecken konstruierbar mit Zirkel und Lineal, regelmäßige Polygone mit 7 oder 9 Ecken jedoch nicht. Die tatsächlichen Durchführungen sind dabei in vielen Fällen sehr trickreich. Bereits bei Euklid findet sich die Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks in einem vorgegebenen Kreis (4. Buch, § 11). Die Konstruktion oben geht auf Richmond 1893 zurück. Man bildet über dem Mittelpunkt eines Kreises vom Radius a eine Senkrechte der Länge a/2, und verbindet ihren Endpunkt A mit D. Die Winkelhalbierung bei A liefert den Punkt B, und die Senkrechte auf B führt zu C. Die Strecke CD ist dann eine der Seiten eines Pentagons, das in den ursprünglichen Kreis einbeschrieben ist. Die restlichen Seiten lassen sich nun aus dieser Seite konstruieren. Der Leser mag versuchen zu beweisen, dass dieses Verfahren tatsächlich ein regelmäßiges Fünfeck − und damit ein Pentagramm − erzeugt.