Besonderheiten der Rotationsgruppe SO₃

 Wir haben gesehen, dass die Gruppe SO₃ ausschließlich aus Rotationen um Achsen durch den Nullpunkt besteht, und in diesem Sinne hat SO₃ eine einfache Struktur. Wir wollen nun umgekehrt zeigen, dass sich innerhalb von SO₃ bemerkenswert komplizierte kombinatorische Untergruppen finden lassen. Wie wir später sehen werden, hat ihre Existenz für die Theorie der Flächenmessung auf der Kugeloberfläche und weiter der Volumenmessung im ℝⁿ für n ≥ 3 drastische Konsequenzen.

 Der erste Unterschied, der beim Vergleich von SO₂ und SO₃ auffällt, ist die mangelnde Kommutativität der Gruppe SO₃. Zudem: Wählen wir zwei „zufällige“ Drehachsen G₁ und G₂, und bezeichnen wir die zugehörigen Rotationen in SO₃ mit φ und ψ, so scheint es, dass alle denkbaren Kompositionen von φ, ψ, φ^{− 1} und ψ⁻¹ verschiedene Drehungen ergeben. Wir fordern lediglich, dass im Verlauf einer solchen Komposition eine gerade durchgeführte Drehung nicht gleich wieder rückgängig gemacht wird, dass also die Komposition keine Zweiersequenz der Form φ ∘ φ⁻¹, φ⁻¹ ∘ φ, ψ⁻¹ ∘ ψ oder ψ ∘ ψ⁻¹ enthält. Wir nennen solche Kompositionen reduziert. Beispiele für reduzierte Kompositionen sind etwa, wobei wir die Identität als „Nullkomposition“ zulassen:

id,  φ,  φ⁻¹,  φ ∘ ψ,  ψ ∘ φ,  φ ∘ φ,  φ ∘ φ ∘ ψ⁻¹ ∘ φ ∘ ψ,  …

 Insgesamt ergibt jede solche reduzierte Komposition χ wieder eine Drehung um eine bestimmte Achse G_χ. Die Frage ist: Können wir die Drehachsen G₁ und G₂ tatsächlich so wählen, dass alle reduzierten Kompositionen zu verschiedenen Drehachsen führen? Jede Drehung φ um 180 Grad ist z. B. ungeeignet, da dann bereits φ² = id gilt. Allgemeiner sind Drehungen um Winkel q π mit q rational ungeeignet. Jede Drehung φ um einen im Verhältnis zu π irrationalen Winkel stellt aber schon sicher, dass id, φ, φ⁻¹, φ ∘ φ, φ⁻¹ ∘ φ⁻¹, … paarweise verschieden sind. Nun muss aber noch eine Rotation ψ gefunden werden, sodass alle reduzierten Kompositionen mit φ paarweise verschiedene Drehungen darstellen. Der Leser wird sehen, dass die Existenz eines solchen Paares φ, ψ zwar glaubhaft ist, aber keineswegs auf der Hand liegt. Wir werden unten ein solches Paar konstruieren. Wie erwartet gelten dann auch starke Verallgemeinerungen; so können etwa unendlich viele Drehungen gefunden werden, sodass alle reduzierten Kompositionen dieser Drehungen verschiedene Drehungen ergeben.

 Zur präzisen Formulierung des Sachverhalts ist es nützlich, einige Begriffe der kombinatorischen Gruppentheorie zu verwenden.

Freie endlich erzeugte Gruppen

 Sei n ≥ 1 fest gewählt, und seien a₁, …, a_n, a₁⁻¹, …, a_n⁻¹ paarweise verschiedene Symbole, die wir auch Buchstaben nennen. Die Exponenten −1 sind im Hinblick auf die Einführung einer Gruppenstruktur gewählt. Wir könnten auch b₁, …, b_n statt a₁⁻¹, …, a_n⁻¹ wählen: Die a_i und a_i⁻¹ sind zunächst beliebige Zeichen.

 Wir betrachten weiter die Menge W der endlichen Worte, die aus diesen Buchstaben gebildet sind. W enthält auch das leere (oder uneigentliche) Wort, das wir mit 1 bezeichnen. Für Worte v und w aus W setzen wir:

So gilt zum Beispiel:

 Gilt v <₁ w, so nennen wir v auch eine Einschrittreduktion von w. Umgekehrt heißt w dann eine Einschrittexpansion von v.

 Ein Wort v  ∈  W heißt reduziert, falls non(w <₁ v) gilt für alle w  ∈  W.

 Wir definieren nun eine Äquivalenzrelation ∼ auf W durch:

w  ∼  v  falls ein k ≥ 1 und w₁, …, w_k  ∈  W existieren mit:

 Zwei Worte w und v sind also genau dann äquivalent, wenn es eine Kette von Einschrittreduktionen oder Einschrittexpansionen gibt, die von w zu v führt. Die Reduktionen und Expansionen können dabei in beliebiger Mischung vorkommen (vgl. aber die Übung unten). Eine Kette aus genau einem Element ist zugelassen (k = 1). Offenbar gilt w ∼ w für alle w  ∈  W. Umkehrung einer Kette zeigt die Symmetrie, und Verbinden zweier Ketten zeigt die Transitivität der Relation ∼.

 Auf der Menge W/∼ der Äquivalenzklassen definieren wir nun eine Multiplikation durch

w/∼ · v/∼  =  wv/∼,

wobei wv das Wort ist, das durch Hintereinanderhängen von w und v entsteht.

 Es ist leicht zu sehen, dass 〈 W/∼, · 〉 eine Gruppe ist.

 Die Idee des Wortes „frei“ ist: Es gelten die Regeln, die explizit gefordert werden, und keine weiteren.

 Das neutrale Element von 〈 W/∼, · 〉 ist 1/∼ = { 1, a₁a₁⁻¹, a₁⁻¹a₁, … }, die Äquivalenzklasse des leeren Wortes. Weiter gilt:

(a_i/∼)⁻¹  =  a_i⁻¹/∼  für 1 ≤ i ≤ n.

 Es ist leicht einzusehen, dass jede Äquivalenzklasse w/∼ genau ein reduziertes Wort enthält:

 Der besseren Lesbarkeit halber schreiben wir im Folgenden w = v statt w ∼ v oder w/∼ = v/∼. In dieser Schreibweise ist dann tatsächlich a_i⁻¹ nicht nur ein Symbol, sondern invers zu a_i. Für n = 2 können wir zum Beispiel unbeschwert wie folgt rechnen:

a₁ a₂ a₂⁻¹ a₁⁻¹ a₁ a₁ a₂  =  a₁ a₁ a₂  =  a₁² a₂  =  a₁² a₂ a₁ a₁⁻¹,

a₁⁻¹ a₁  =  1,  a₁ a₂  ≠  a₂ a₁.

 In dieser Form wird mit Elementen von freien Gruppen zumeist gearbeitet. Die offizielle Struktur 〈 W/∼, · 〉 bleibt im Hintergrund.

 Die freie Gruppe F₁ mit einem Generator a ist offenbar isomorph zu 〈 ℤ, + 〉 (bilde für alle z  ∈  ℤ das Element a^z von F₂ auf z ab).

 Die Gruppe F₂ ist dagegen weitaus komplizierter. Mit a und b als Generatoren gilt a b  ≠  b a,  a^z b  ≠  b a^z,  usw. Insbesondere ist F₂ nicht kommutativ, und damit kann die kommutative Rotationsgruppe SO₂ keine zu F₂ isomorphe Untergruppe enthalten. Dies ist anders für die Rotationen in drei Dimensionen:

 Der Beweis verwendet die einfachen Drehungen φ und ψ um den Winkel arccos(1/3) um die z-Achse bzw. die x-Achse. Alle Drehungen sind wie üblich gegen den Uhrzeigersinn. Die Drehung φ ist etwa derart, dass die Projektion des gedrehten Einheitsvektors (1, 0, 0) auf die x-Achse genau ein Drittel des Einheitsvektors ergibt. Eine pythagoreische Rechnung für die y-Achse zeigt, dass φ den Vektor (1, 0, 0) insgesamt auf den Vektor (1/3, 2$\sqrt{2}$/3, 0) abbildet. Setzen wir zur Entschlackung des Wiederkehrenden

α  =  1/3  und  β  =  2$\sqrt{2}$/3,

so ergibt sich insgesamt für die darstellenden Matrizen M(φ) und M(φ⁻¹) bzgl. der kanonischen Basis:

M(φ)  =  $( \begin{array}{ccc}\mathrm{\alpha }& -\mathrm{\beta }& 0\\ \mathrm{\beta }& \mathrm{\alpha }& 0\\ 0& 0& 1\end{array} )$ und   M(φ⁻¹)  =  $( \begin{array}{ccc}\mathrm{\alpha }& \mathrm{\beta }& 0\\ -\mathrm{\beta }& \mathrm{\alpha }& 0\\ 0& 0& 1\end{array} )$.

Weiter sind M(ψ) und M(ψ⁻¹) die an der Gegendiagonalen gespiegelten Matrizen M(φ) bzw. M(φ⁻¹).

 Dieses elementare Argument stammt von Swierczkowski (1958). Hausdorff entdeckte 1914, dass die Gruppe SO₃ eine zum sog. freien Produkt Z_{2, 3} der Restklassengruppen Z₂ = ℤ/≡ ₂ und Z₃ = ℤ/≡ ₃ isomorphe Untergruppe enthält (dieses Produkt taucht bereits bei Felix Klein 1890 auf; die Gruppe Z_{2, 3} hat zwei Erzeuger a und b und zusätzlich zu den Gruppenaxiomen gelten die Regeln a² = 1 und b³ = 1). Hausdorff brachte sein Resultat noch im Anhang seiner „Grundzüge der Mengenlehre“ (siehe [ Hausdorff 1914, S. 469ff.]) und dann für sich stehend noch einmal in [ Hausdorff 1914b ]. In den „Grundzügen“ heißt es:

Hausdorff analysiert nun die entstehende Gruppe von Drehungen in Abhängigkeit vom Winkel θ/2 der beiden Drehachsen, und kommt zu dem Ergebnis, dass mit Ausnahme von abzählbar vielen Werten jeder Winkel θ geeignet ist, damit „außer φ² = ψ³ = 1“ keine Relationen bestehen, d. h. die entstehende Gruppe ist isomorph zum freien Produkt Z_{2, 3} von Z₂ und Z₃. Die Gruppe Z_{2, 3} wiederum enthält eine Kopie von F₂, sodass wir obiges Ergebnis auch aus der Konstruktion von Hausdorff erhalten:

 Die überraschenden Konsequenzen dieser Ergebnisse über Rotationen im ℝ³ werden wir im übernächsten Kapitel kennen lernen.

 Auflösbare Gruppen 〈 G, ∘ 〉 können nach einem allgemeinen Satz keine zu F₂ isomorphe Untergruppe enthalten: Es gibt immer ein nichtleeres reduziertes Wort w = s₁ … s_n in zwei Buchstaben a und b, sodass w gelesen über G immer gleich 1 ist, d. h. für alle φ, ψ  ∈  G gilt, dass f (s₁) ∘ … ∘ f (s_n) = 1, wobei f (a) = φ, f (b) = ψ, f (a⁻¹) = φ⁻¹, f (b⁻¹) = ψ⁻¹. Um diese einzusehen, betrachten wir noch eine für sich interessante Äquivalenz zur Auflösbarkeit: Für auflösbare Gruppen existiert immer eine kanonische auflösende Kette. Wir definieren hierzu:

 Zur Motivation: Eine Faktorgruppe G/F ist genau dann kommutativ, wenn g h F = h g F, d. h. g⁻¹ h⁻¹ g h  ∈  F für alle g, h  ∈  G gilt. Durch derartige Überlegungen und Berechnungen zeigt man leicht:

 Die Faktorgruppe G/[ G, G ] ist also die beste „Abelisierung“ der Gruppe G.

 Der Kommutator [ G, G ] selbst ist i. A. nicht abelsch, und es liegt dann nahe, die Kommutatorbildung zu iterieren. Für eine Gruppe G setzen wir:

G⁽⁰⁾  =  G,  G^(n + 1)  =  [ G⁽ⁿ⁾, G⁽ⁿ⁾ ]  für alle n  ∈  ℕ.

 Die Minimalitätseigenschaft (iii) des Satzes über den Kommutator liefert nun leicht:

 Mit Hilfe der Kommutatorfolge G⁽⁰⁾, G⁽¹⁾, …, G⁽ⁿ⁾ können wir nun zeigen:

 Für die auflösbaren Gruppen ℐ₁ und ℐ₂ können wir relativ einfache universelle Gleichungen in zwei Variablen finden, die gelesen über F₂ nicht gelten: