Eine Konstruktion des Lebesgue-Maßes
Die Aufgabe der σ-additiven Längenmessung lautet nach der negativen Antwort auf das ursprüngliche Maßproblem durch Vitali:
Konstruiere ein (möglichst eindeutiges) bewegungsinvariantes σ-additives Längenmaß λ : ℒ → [ 0, ∞ ], das auf einer möglichst umfassenden σ-Algebra ℒ auf ℝ definiert ist. Untersuche die Struktur und den Umfang von ℒ.
Ist man nur an Anwendungen interessiert, so wird „möglichst umfassend“ durch „hinreichend umfassend“ ersetzt und der Zusatz der strukturellen Untersuchung gestrichen.
Wir geben nun die Schritte zur Konstruktion eines solchen Längenmaßes an, wobei wir die Beweise einiger grundlegender und leicht nachzuprüfender Eigenschaften der Konstruktion weglassen. Insgesamt ergibt die folgende Darstellung das übliche um seine Nullmengen bereits vervollständigte σ-finite Lebesgue-Maß auf ℝ. Sie folgt weitgehend der Art und Weise, mit der Lebesgue zu Beginn des 20. Jahrhunderts sein Maß eingeführt hat.
Zunächst beschränken wir uns auf die Längenmessung. Die Konstruktion für eine gegebene höhere Dimension n ≥ 2 verläuft analog, worauf wir später noch eingehen.
Wir möchten also möglichst vielen Teilmengen P von ℝ ein möglichst demokratisches Längenmaß λ(P) ∈ [ 0, ∞ ] zuordnen. Ein möglicher Ausgangspunkt hierfür ist es, jedem reellen Intervall [ a, b ] die Länge b − a zuzuweisen. Diskreter könnten wir iterativ etwa so vorgehen: Wir belegen [ 0, 1 ] mit „Masse“ 1, anschließend verfeinern wir die Massenverteilung, indem wir [ 0, 1/2 ] und [ 1/2, 1 ] mit jeweils Masse 1/2 belegen, usw. Analog verfahren wir mit allen Intervallen [ z, z + 1 ] für z ∈ ℤ. Insgesamt wird so die Gesamtmasse gleichmäßig über ganz ℝ verteilt. Dieser diskrete Ansatz ist wie erwartet äquivalent zur Version, bei der alle reellen Intervalle den Startpunkt bilden.
Die interessante Frage ist nun, welchen anderen Teilmengen von ℝ wir eine Länge bzw. Masse zuweisen können bzw. implizit bereits aufgenötigt haben. Ein Weg zur Präzisierung und Beantwortung dieser Frage verläuft stufenweise wie folgt.
Definition (erster Schritt der Definition von λ)
Wir setzen für alle a, b ∈ ℝ mit a ≤ b:
λ([ a, b ]) = λ([ a, b [) = λ(] a, b ]) = λ(] a, b [) = b − a.
Keine Probleme bereitet weiter die Definition von λ für die offenen und abgeschlossenen Teilmengen von ℝ:
Definition (zweiter Schritt der Definition von λ)
Sei U ⊆ ℝ offen. Wir setzen:
λ(U) = sup({ λ( ] a0, b0 [ ) + … + λ( ] an, bn [ ) | n ∈ ℕ,
| ] ai, bi [ ⊆ U für i ≤ n, | |
| ] ai, bi [ ∩ ] aj, bj [ = ∅ für i < j ≤ n }), |
λ(ℝ − U) = lima → ∞ (2a − λ(] − a, a [ ∩ U)).
In ℝ ist jede offene Menge U sogar eindeutig darstellbar als die Vereinigung von abzählbar vielen offenen und paarweise disjunkten Intervallen In, n ∈ ℕ (!), was eine etwas vereinfachte Definition möglich macht: λ(U) = ∑n ∈ ℕ λ(In). Diese Eigenschaft gilt aber bereits nicht mehr für ℝ2 (mit offenen Rechtecken statt Intervallen), sodass hier die Verwendung des Supremums günstig ist.
Damit ist λ für alle offenen und abgeschlossenen Teilmengen von ℝ definiert. Man zeigt leicht, dass der zweite Schritt konsistent mit dem ersten ist, d. h. dass Werte, die in beiden Schritten definiert werden, übereinstimmen. Weiter gilt für die abgeschlossenen Mengen:
Übung
Sei A ⊆ ℝ abgeschlossen. Dann gilt:
(i) | λ(A) = ∑z ∈ ℤ (1 − λ( ] z, z + 1 [ − A)). |
(ii) | Ist A ⊆ U für ein offenes U ⊆ ℝ mit λ(U) < ∞, so gilt: λ(A) = λ(U) − λ(U − A). |
Die dritte Stufe der Definition von λ ist komplexer. Wir definieren hierzu zwei für sich interessante Funktionen (Lebesgue 1902, Young 1905):
Definition (äußeres und inneres Lebesgue-Maß)
Sei P ⊆ ℝ. Wir setzen:
λ+(P) = inf ( { λ(U) | U ⊆ ℝ ist offen und P ⊆ U } ),
λ−(P) = sup( { λ(A) | A ⊆ ℝ ist abgeschlossen und A ⊆ P } ).
λ+(P) heißt das äußere Lebesgue-Maß von P, und analog heißt λ−(P) das innere Lebesgue-Maß von P.
Die Form der Definition ist so motiviert: Der Schnitt über offene Mengen, die alle P enthalten, enthält zwar wieder P, ist aber i. A. nicht mehr offen. Damit geht der dritte Schritt deutlich über den zweiten hinaus. Würden wir in der Definition offen und abgeschlossen vertauschen, so erhielten wir nichts Neues.
Es fällt ins Auge, dass das innere und äußere Maß für beliebige Teilmengen von ℝ definiert ist und weiter auf keinem speziellen Merkmal der Längenmessung beruht. In der Tat taucht die Konstruktion dann an vielen Stellen der allgemeinen Maßtheorie auf.
Für eine allgemeine Konstruktion von Maßen, die anstelle der inneren und äußeren Maße transfinite Rekursion verwendet, siehe Anhang 5 und [ Deiser 2007 und 2009 ].)
Man kann nach der Definition des Lebesgue-Maßes für Intervalle direkt eine Definition von λ+ und λ- geben, die den zweiten Schritt beinhaltet. Man setzt hierzu etwa:
λ+(P) = inf ( { ∑n ∈ ℕ λ(In) | In ist ein offenes Intervall für n ∈ ℕ, P ⊆ ⋃n ∈ ℕ In }).
Die beiden Vorgehensweisen sind gleichwertig.
Wir stellen die wichtigsten Eigenschaften des äußeren und inneren Lebesgue-Maßes zusammen.
Satz (Eigenschaften von λ+ und λ−)
Für alle P, Q ⊆ ℝ gilt:
(i) | Ist n ∈ ℕ und P ⊆ [ − n, n ], so ist λ−(P) = 2n − λ+([ −n, n ] − P). |
(ii) | 0 ≤ λ−(P) ≤ λ+(P) ≤ ∞. |
(iii) | Ist P ⊆ Q, so ist λ+(P) ≤ λ+(Q) und λ−(P) ≤ λ−(Q). |
(iv) | λ+(P ∪ Q) + λ+(P ∩ Q) ≤ λ+(P) + λ+(Q), λ−(P ∪ Q) + λ−(P ∩ Q) ≥ λ−(P) + λ−(Q). |
(v) | Sind P und Q disjunkt, so gilt λ+(P ∪ Q) ≥ λ+(P) + λ−(Q) ≥ λ−(P ∪ Q). |
(vi) | Ist X ⊆ ℘(ℝ) abzählbar, so gilt λ+(⋃ X) ≤ ∑P ∈ X λ+(P). |
(vii) | Ist X ⊆ ℘(ℝ) abzählbar mit paarweise disjunkten Elementen, so gilt λ−(⋃ X) ≥ ∑P ∈ X λ−(P). |
(viii) | Seien P0 ⊇ P1 ⊇ … ⊇ Pn ⊇ …, n ∈ ℕ, mit λ−(P0) < ∞. Dann gilt λ−(⋂n ∈ ℕ Pn) = infn ∈ ℕ λ−(Pn). |
(ix) | Seien P0 ⊆ P1 ⊆ … ⊆ Pn ⊆ …, n ∈ ℕ. Dann gilt λ+(⋃n ∈ ℕ Pn) = supn ∈ ℕ λ+(Pn). |
Übung
Es gibt ⊆-absteigende Pn mit λ+(P0) < ∞ und λ+(⋂n ∈ ℕ Pn) < infn ∈ ℕ λ+(Pn).
Analog existieren ⊆-aufsteigende Pn mit λ−(⋃n ∈ ℕ Pn) > supn ∈ ℕ λ−(Pn).
Sehen wir nun λ−(P) und λ+(P) als gleichberechtigte Versuche an, einem beliebigen P ⊆ ℝ eine Länge zuzuordnen, so gelangen wir zur Definition der Lebesgue-Messbarkeit:
Definition (dritte Stufe der Definition von λ, Lebesgue-Messbarkeit, ℒ)
(i) | Sei P ⊆ ℝ mit λ+(P) < ∞. P heißt Lebesgue-messbar, falls λ+(P) = λ−(P). In diesem Fall setzen wir λ(P) = λ+(P) = λ−(P), und nennen λ(P) das Lebesgue-Maß von P. |
(ii) | Sei P ⊆ ℝ mit λ+(P) = ∞. P heißt Lebesgue-messbar, falls P ∩ ] − n, n [ Lebesgue-messbar für alle n ∈ ℕ ist. In diesem Fall setzen wir λ(P) = ∞ und nennen λ(P) wieder das Lebesgue-Maß von P. |
Wir setzen weiter ℒ = { P ⊆ ℝ | P ist Lebesgue-messbar }.
Die Unterscheidung nach der Endlichkeit von λ+(P) ist bei der Definition mit Hilfe des inneren Maßes notwendig, da aus A ⊆ P ⊆ U, A abgeschlossen, U offen, λ−(A) = λ+(U) = ∞ nicht folgt, dass A maßtheoretisch nahe an U liegt. Konkret sei V ⊆ [ 0, 1 ] eine nichtmessbare Menge wie etwa im Satz von Vitali, und es sei P = V ∪ [ 2, ∞ [. Dann stimmen λ+(P) und λ−(P) überein (mit Wert ∞), aber wir wollen sicher nicht P Lebesgue-messbar nennen: Die Differenz zweier Mengen soll messbar sein, und mit P wäre sonst V = P − [ 2, ∞ [ messbar.
Ist P ⊆ ℝ mit λ+(P) = 0, so ist P Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß 0. Dagegen folgt, wie wir gerade gesehen haben, aus λ−(P) = ∞ nicht notwendig, dass P ∈ ℒ. Aus P ∈ ℒ folgt aber stets, dass λ+(P) = λ−(P).
Für beliebige P ⊆ ℝ gilt das folgende Kriterium der Messbarkeit:
Satz (Lebesguesches Messbarkeits-Kriterium)
Sei P ⊆ ℝ. Dann sind äquivalent:
(i) | P ist Lebesgue-messbar. |
(ii) | Für alle ε > 0 existieren ein offenes U ⊆ ℝ und ein abgeschlossenes A ⊆ ℝ mit:
|
(iii) | Für alle ε > 0 existieren offene U, V ⊆ ℝ mit:
|
Die Äquivalenz von (i) und (ii) ist einfach zu zeigen, und (ii) ↷ (iii) ist trivial. Für (iii) ↷ (ii) zeigt man zunächst, dass für jedes ε > 0 und jedes offene U ein abgeschlossenes A existiert mit λ(U − A) < ε.
Die Bedingungen (ii) und (iii) verwenden lediglich das vorab konstruierte Maß für offene Mengen, und liefern so eine elegante Möglichkeit, das Lebesgue-Maß zu definieren, ohne das äußere und innere Maß einzuführen. Die äußeren und inneren Maße sind aber für sich von Interesse und spiegeln das Ziel wider, möglichst die ganze Potenzmenge von ℝ zu erfassen.
Eine weitere Möglichkeit, das Lebesgue-Maß zu definieren, fand Constantin Carathéodory im Jahr 1914:
Definition (Carathéodory-Bedingung)
P ⊆ ℝ erfüllt die Carathéodory-Bedingung, falls für alle A ⊆ ℝ gilt:
λ+(A) = λ+(A ∩ P) + λ+(A − P).
Es gilt:
Satz (die Carathéodory-Bedingung charakterisiert die Lebesgue-Messbarkeit)
Sei P ⊆ ℝ. Dann sind äquivalent:
(i) | P ist Lebesgue-messbar. |
(ii) | P erfüllt die Carathéodory-Bedingung. |
Die Carathéodory-Bedingung verwendet nur das äußere Maß, und es ist keine Fallunterscheidung nach der Endlichkeit von λ+(P) nötig. Sie ist elegant zu handhaben und in der allgemeinen Maßtheorie äußerst populär.
Unmittelbar aus der Konstruktion folgt:
Satz (Regularität und Straffheit des Lebesgue-Maßes)
Sei P ⊆ ℝ Lebesgue-messbar. Dann gilt:
λ(P) = infP ⊆ U, U offen λ(U) = supA ⊆ P, A abgeschlossen λ(A) = supA ⊆ P, A kompakt λ(A).
Die ersten beiden Gleichungen werden als Regularität des Lebesgue-Maßes bezeichnet, die dritte als Straffheit. Die Straffheit folgt hier einfach aus der Regularität, da ℝ σ-kompakt, d. h. eine abzählbare Vereinigung von kompakten Mengen ist.
Weiter halten wir fest:
Satz (Approximation durch einfache Mengen)
Für alle P ⊆ ℝ sind äquivalent:
(i) | P ist Lebesgue-messbar. |
(ii) | Es existieren offene Mengen Un ⊇ P, n ∈ ℕ, mit: λ+(⋂n ∈ ℕ Un − P) = 0. |
(iii) | Es existieren kompakte Mengen An ⊆ P, n ∈ ℕ, mit: λ+(P − ⋃n ∈ ℕ An) = 0. |
Im weiten Reich der Lebesgue-messbaren Mengen spielen also die abzählbaren Schnitte offener Mengen und die abzählbaren Vereinigungen kompakter Mengen eine zentrale Rolle. Der Rest ist Nullmenge.
Die folgende Übung ist ein Haupttor zum Verständnis der Konstruktion:
Übung
ℚ ist Lebesgue-messbar und es gilt λ(ℚ) = 0.
Allgemeiner ist jedes abzählbare A ⊆ ℝ Lebesgue-messbar mit λ(A) = 0.
[ Sei Q = ℚ ∩ [ 0, 1 [. Man zeigt λ+(Q) = 0 durch geeignet feine („kleinsummige“) Überdeckungen von Q durch offene Intervalle. ]
Man zeigt nun:
Satz (Hauptsatz über das Lebesgue-Maß)
(a) | 〈 ℝ, ℒ, λ 〉 ist ein σ-finiter Maßraum. |
(b) | Es gilt λ([ 0, 1 ]) = 1. |
(c) | λ ist bewegungsinvariant auf ℒ, d. h. für alle A ∈ ℒ und Isometrien g ∈ ℐ1 ist g″A ∈ ℒ und λ(g″A) = λ(A). |
(d) | λ respektiert Streckungen, d. h. ist A ∈ ℒ und c ∈ ℝ, so ist cA = { cx | x ∈ A } ∈ ℒ und es gilt λ(cA) = |c|λ(A). |
(e) | Es gilt λ = λc, d. h. jede λ-Nullmenge ist bereits ein Element von ℒ. |
Die Eigenschaften (b), (c) und (d) gelten auch für das äußere Lebesgue-Maß λ+, sodass also eine bewegungsinvariante subadditive Längenmessung auf ganz ℘(ℝ) möglich ist.
Wissen wir, dass ℒ eine σ-Algebra ist, so ergibt sich sofort der folgende Satz über den Umfang der Lebesgue-messbaren Teilmengen von ℝ:
Korollar (Charakterisierung der Lebesgue-messbaren Mengen)
ℒ ist die von den offenen und den Mengen vom äußeren Maß Null erzeugte σ-Algebra auf ℝ.
Beweis
Sei ℒ′ die von den offenen Mengen und den λ+-Nullmengen erzeugte σ-Algebra. Wegen der Vollständigkeit von λ gilt offenbar ℒ′ ⊆ ℒ.
Sei also P ∈ ℒ. Dann existieren offene Mengen Un ⊇ P, n ∈ ℕ, mit
λ+(⋂n ∈ ℕ Un − P) = 0.
Sei N = ⋂n ∈ ℕ Un − P. Dann ist P = ⋂n ∈ ℕ Un − N ∈ ℒ′.
Ist 〈 ℝ, 𝒜, μ 〉 ein σ-finiter Maßraum mit μ(U) = λ(U) für alle offenen U ⊆ ℝ, so gilt μ(P) = λ(P) für alle P ∈ 𝒜 ∩ ℒ. Denn zunächst gilt auch μ(A) = λ(A) für alle abgeschlossenen A ⊆ ℝ. Wegen der Monotonie von μ und der Definition des inneren und äußeren Lebesgue-Maßes ist dann aber λ−(P) ≤ μ(P) ≤ λ+(P) für alle P ∈ 𝒜. Ist also P ∈ ℒ ∩ 𝒜, so ist λ(P) = λ−(P) = λ+(P) = μ(P).
Hieraus folgert man leicht folgende Eindeutigkeitsaussage für das Lebesgue-Maß: Ist 〈 ℝ, ℒ, μ 〉 ein σ-finiter Maßraum derart, dass (b) und (c) aus dem Satz oben für λ′ gilt, so ist μ = λ. Bis auf eine Normierung ist also ein nichttriviales bewegungsinvariantes Maß auf der von den offenen Mengen erzeugten σ-Algebra eindeutig bestimmt. Die Vervollständigung eines Maßes um seine implizit mitdefinierten Nullmengen ist dann ebenfalls frei von Willkür.
Es zeigt sich, dass ℒ die meisten in der „analytischen Praxis“ auftretenden Mengen enthält. Der rechnende Analytiker und Wahrscheinlichkeitstheoretiker muss sich also nur selten mit Messbarkeits-Problemen beschäftigen. Nicht alle gängigen Konstrukte laufen aber reibungslos innerhalb von ℒ ab. So existiert etwa eine stetige monoton wachsende Funktion g : [ 0, 1 ] → [ 0, 1 ] und ein Lebesgue-messbares P derart, dass g−1″P nicht Lebesgue-messbar ist. (Eine solche Funktion g kann relativ leicht über die Cantormenge C ⊆ [ 0, 1 ] definiert werden, siehe hierzu etwa [ Halmos 1950 ].) Einigen Fragen über den Umfang der Lebesgue-messbaren Mengen, die die Grenzen der klassischen Mathematik berühren und oft auch überschreiten, werden wir später noch begegnen.