Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes

Aus dem Satz von Vitali erhalten wir:

Korollar (Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen)

Es gilt ℒ ≠ ℘(ℝ).

Dieses Korollar wird zuweilen mit dem Satz von Vitali verwechselt. Das Korollar besagt, dass die von den offenen Mengen und den Mengen vom äußeren Maß 0 erzeugte σ-Algebra auf ℝ ungleich ℘(ℝ) ist. Der Satz von Vitali besagt viel stärker, dass es kein bewegungsinvariantes Maß auf ganz ℘(ℝ) gibt, und insbesondere gibt es keine bewegungsinvariante Fortsetzung des Lebesgue-Maßes nach ganz ℘(ℝ).

Andererseits impliziert der Satz von Vitali auch nicht, dass es überhaupt kein Maß μ auf der vollen Potenzmenge von ℝ geben könnte, das das Lebesgue-Maß λ fortsetzt. Die Existenz eines derartigen Maßes ist de facto weder beweisbar noch widerlegbar. Gilt die Kontinuumshypothese, so gibt es kein solches μ. Es gibt dann überhaupt kein nichttriviales Maß auf ganz ℘(ℝ). In gewissen Modellen der Mengenlehre, in denen das Kontinuum eine sehr große Kardinalität hat, existiert aber eine σ-additive Fortsetzung μ von λ nach ganz ℘(ℝ). μ ist dann notwendig nicht mehr translationsinvariant, aber es misst alle Teilmengen von ℝ. Für die Konstruktion eines solchen Modells wird die Existenz einer „messbaren Kardinalzahl“ benötigt. Die Existenz einer solchen Zahl ist eine intensiv studierte Hypothese der Mengenlehre, und ein Beispiel für ein sog. großes Kardinalzahlaxiom. (Obige Behauptung, dass die Existenz einer vollen Fortsetzung des Lebesgue-Maßes nicht widerlegbar ist, gilt modulo der − nicht beweisbaren − Konsistenz einer messbaren Kardinalzahl.)

Wir diskutieren zur Illustration eine Fortsetzung des Lebesgue-Maßes nach ganz ℘(ℝ) modulo einer starken Hypothese. Wir zeigen, dass gewisse volle Maße auf einer beliebigen Menge eine solche Fortsetzung induzieren. Das Lebesgue-Maß wird dabei noch einmal mitkonstruiert. Wir betrachten folgende Eigenschaft:

Definition (atomfreie Maße)

Sei 〈 M, 𝒜, μ 〉 ein σ-finiter Maßraum.

μ heißt atomfrei, falls für alle A  ∈  𝒜 mit μ(A) > 0 gilt:

Es existieren disjunkte B, C ⊆ A mit A = B ∪ C, μ(B) > 0, μ(C) > 0.

Ist μ atomfrei, μ(M) > 0 und { x }  ∈  𝒜 für alle x  ∈  M, so ist M überabzählbar.

Es gilt das folgende allgemeine und nicht schwer zu beweisende Lemma:

Lemma (Wertebereich atomfreier Maße)

Sei 〈 M, 𝒜, μ 〉 ein σ-finiter atomfreier Maßraum, und sei A  ∈  𝒜.

Dann ist rng(μ|℘(A) ∩ 𝒜) = [ 0, μ(A) ].

Siehe z. B. [ Dudley 1989, S. 83 ]. Mit den Methoden des „Intermezzos“ im zweiten Abschnitt lässt sich das Lemma auch leicht mit transfiniter Rekursion beweisen.

Wir brauchen für das folgende Argument lediglich:

Korollar (Halbierungslemma)

Sei μ ein atomfreies σ-finites volles Maß auf M, und sei A ⊆ M.

Dann existiert ein B ⊆ A mit μ(B) = μ(A)/2.

Hiermit können wir nun sehr leicht zeigen:

Satz (Fortsetzung des Lebesgue-Maßes nach ganz ℘(ℝ))

Sei μ volles atomfreies Maß auf einer Menge M mit 0 < μ(M) < ∞.

Dann existiert ein volles Maß λ′ auf ℘(ℝ) mit λ′|ℒ = λ.

Beweis

O. E. ist μ(M) = 1. Wir konstruieren eine Fortsetzung des Lebesgue-Maßes λ auf [ 0, 1 ] nach ℘([ 0, 1 ]). Dies genügt.

Für A ⊆ M sei B(A) wie im Halbierungslemma für A, und es sei C(A) = A − B(A).

Wir definieren Mengen M_s für alle endlichen 0-1-Folgen s durch Rekursion über die Länge von s wie folgt:

M_∅ = M, M_s ⁀ 0 = B(M_s), M_s ⁀ 1 = C(M_s).

Hierbei sei s⁀i die Verlängerung der Folge s um i  ∈  { 0, 1 }.

Wir definieren nun für S ⊆ ^ℕ{ 0, 1 }:

ν(S) = μ(⋃_{g  ∈  S} ⋂_{n  ∈  ℕ} M_{g|{ 0, …, n − 1 }}).

Für P ⊆ [ 0, 1 ] sei schließlich

λ′(P) = ν({ g  ∈  ^ℕ{ 0, 1 } | ∑_{n  ∈  ℕ} g(n)/2^n + 1  ∈  P }).

λ′ ist ein volles Maß auf ℘([ 0, 1 ]). Weiter stimmt λ′ auf allen Intervallen [ n/2^k, (n + 1)/2^k ], k  ∈  ℕ, 0 ≤ n < k, mit λ überein, und damit auch auf allen offenen Mengen. Also stimmt λ′ auf ganz ℒ mit λ überein (vgl. Kapitel 5).

Also ist λ′ eine Fortsetzung von λ wie gewünscht.

Hyper-Lebesgue-Maße

Wir wollen nun wieder an der Bewegungsinvarianz festhalten. Hier stellt sich die Frage: Ist das Lebesgue-Maß bewegungsinvariant fortsetzbar auf eine ℒ echt umfassende σ-Algebra? Existiert vielleicht sogar eine größte oder wenigstens maximale derartige Fortsetzung? Diese Frage wurde bereits von Sierpiński in den 1930er-Jahren gestellt. Wir definieren hierzu:

Definition (Hyper-Lebesgue-Maße)

Sei 𝒜 eine σ-Algebra auf ℝ, und sei μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ] ein σ-finites Maß.

μ heißt ein Hyper-Lebesgue-Maß (auf ℝ), falls gilt:

(i)	𝒜 ist abgeschlossen unter Bewegungen, d. h. es gilt g″A  ∈  𝒜 für alle g  ∈  ℐ₁ und A  ∈  𝒜.

(ii)	μ ist bewegungsinvariant.

(iii)

ℒ ⊆ 𝒜 und μ|ℒ = λ.

Wir zeigen nun, dass kein maximales Hyper-Lebesgue-Maß existiert: Jedes Hyper-Lebesgue-Maß lässt immer noch eine echte σ-additive und bewegungsinvariante Fortsetzung seiner selbst zu. Ein analoges Resultat gilt auch für die Dimensionen k ≥ 2. Damit ist die Frage von Sierpiński negativ beantwortet.

Der Beweis der Nichtexistenz von maximalen bewegungsinvarianten Fortsetzungen des Lebesgue-Maßes im ℝ^k hat eine längere Geschichte. Edward Szpilrajn − der sich später Edward Marczewski nannte − zeigte 1935, dass das Lebesgue-Maß im ℝ^k eine bewegungsinvariante echte Fortsetzung besitzt. In der Folge lösten S. Pkhakadze (1958), Andrzej Hulanicki (1962) und A. Harazisvili (1977) das Problem unter zusätzlichen Annahmen (betreffend die Kardinalität von ℝ bzw. die Dimension k). Erst 1983 gelang Krzysztof Ciesielski und Andrzej Pelc ein erster voraussetzungsfreier Beweis (veröffentlicht in [ Ciesielski / Pelc 1985 ]). Die folgende Darstellung folgt dem sehr einfachen Argument von Ciesielski aus dem Jahre 1990. Wir geben den Beweis für die Dimension k = 1, und diskutieren am Ende für Leser mit etwas größerem algebraischen Vorwissen, wie sich der Beweis fast wörtlich für größere Dimensionen verallgemeinern lässt.

Wir starten mit einer klassischen Methode zur Ausdehnung eines Maßes.

Satz (Satz von Marczewski)

Sei μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ] ein Hyper-Lebesgue-Maß auf ℝ.

Weiter sei 𝒥 ⊆ ℘(ℝ) derart, dass gilt:

(i)	𝒥 ist abgeschlossen unter Bewegungen und abzählbaren Vereinigungen.

(ii)	Für alle J  ∈  𝒥 gilt: Ist A  ∈  𝒜 mit A ⊆ J, so ist μ(A) = 0.

Dann existiert ein Hyper-Lebesgue-Maß μ′ : 𝒜′ → [ 0, ∞ ] mit:

(a)	𝒜 ∪ 𝒥	⊆ 𝒜′,
(b)	μ′\|𝒜	= μ,
(c)	μ′(J)	= 0 für alle J  ∈  𝒥.

Beweis

Sei 𝒥′ = { I ⊆ ℝ | es existiert ein J  ∈  𝒥 mit I ⊆ J } das von 𝒥 erzeugte σ-Ideal.

Weiter sei 𝒜′ die von 𝒜 und 𝒥′ erzeugte σ-Algebra, d. h.

𝒜′ = { (A − I₁) ∪ I₂ | A  ∈  𝒜, I₁, I₂  ∈  𝒥′ } (= { A Δ J | A  ∈  𝒜, J  ∈  𝒥′ }).

Wir definieren nun für A  ∈  𝒜 und I₁, I₂  ∈  𝒥′:

μ′((A − I₁) ∪ I₂) = μ(A).

Dann ist μ′ : 𝒜′ → [ 0, ∞ ] wohldefiniert, und es gilt (a) − (c).

Man überprüft leicht, dass μ′ ein Hyper-Lebesgue-Maß ist.

Grundlage des Arguments ist nun der folgende Begriff, den wir allgemein für alle Euklidischen Räume einführen:

Definition (C-verschiebbare Mengen)

Sei k ≥ 1 und sei U ⊆ ℝ^k. U heißt Ciesielski- oder C-verschiebbar, falls gilt:

Für alle abzählbaren G ⊆ ℐ_k existiert ein überabzählbares T ⊆ ℝ^k mit:

Sind x, y  ∈  T mit x ≠ y, so ist (GU + x) ∩ (GU + y) = ∅,

wobei GU = { g(u) | g  ∈  G, u  ∈  U } = ⋃_{g  ∈  G} g″U.

Die C-Verschiebbarkeit von U bedeutet also: Auch nach einer beliebigen abzählbaren Vervielfachung durch starre Bewegungen von U zu GU ist GU immer noch so porös, dass es überabzählbar viele paarweise disjunkte Verschiebungen von GU gibt. Insbesondere gilt dann also: Ist μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ] ein Hyper-Lebesgue-Maß und ist U  ∈  𝒜 C-verschiebbar, so ist μ(U) = 0. Denn betrachte hierzu G = { id } in der Definition. Wegen der Translationsinvarianz von μ ist dann μ(U + x) = μ(U) für überabzählbar viele x  ∈  ℝ, also notwendig μ(U) = 0 (!). Der nächste Satz zeigt, dass wir die Bedingung U  ∈  𝒜 durch eine evtl. Erweiterung von μ sicherstellen können:

Satz (Erweiterungssatz für Hyper-Lebesgue-Maße)

Sei μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ] ein Hyper-Lebesgue-Maß auf ℝ.

Weiter sei U ⊆ ℝ C-verschiebbar.

Dann existiert ein Hyper-Lebesgue-Maß μ′ : 𝒜′ → [ 0, ∞ ], das μ fortsetzt, und für das U  ∈  𝒜′ und μ′(U) = 0 gilt.

Beweis

Sei 𝒥 = { GU | G ⊆ ℐ₁, G abzählbar }. Dann ist 𝒥 abgeschlossen unter Bewegungen und abzählbaren Vereinigungen.

Seien weiter A  ∈  𝒜 und J  ∈  𝒥 derart, dass A ⊆ J.

Dann existiert ein abzählbares G ⊆ ℐ₁ mit J = GU.

Wegen U C-verschiebbar existiert ein überabzählbares T ⊆ ℝ mit

A + x ∩ A + y ⊆ (GU + x) ∩ (GU + y) = ∅ für alle x, y  ∈  T.

Folglich μ(A) = 0. Damit folgt die Behauptung aus dem Satz von Marczewski.

Der Satz liefert noch nicht notwendig eine echte Fortsetzung eines gegebenen Hyper-Lebesgue-Maßes. Ein solches Maß könnte ja bereits auf allen C-verschiebbaren Mengen definiert sein. Wir werden gleich sehen, dass es keinen solchen Definitionsbereich eines Hyper-Lebesgue-Maßes geben kann. Zunächst beweisen wir mit Hilfe von Hamelbasen einen Existenzsatz.

Satz (Konstruktion C-verschiebbarer Mengen durch Hamelbasen)

Sei H eine Hamelbasis von ℝ, und sei H₀ ⊆ H derart, dass H − H₀ überabzählbar ist.

Weiter sei U der von H₀ erzeugte Unterraum des ℚ-Vektorraumes ℝ.

Dann ist U C-verschiebbar.

Beweis

Sei G ⊆ ℐ₁ abzählbar. Nach dem Charakterisierungssatz für ℐ₁ existiert dann ein abzählbares Z ⊆ ℝ derart, dass jedes g  ∈  G von der Form tr_z oder tr_z ∘ sp₀ für ein z  ∈  Z ist (wobei sp₀(x) = − x für x  ∈  ℝ).

Dann gilt:

(+) GU ⊆ U + Z = { u + z | u  ∈  U, z  ∈  Z }.

Denn für alle u = q₁ x₁ + … + q_n x_n  ∈  U, q_i  ∈  ℚ, x_i  ∈  H₀, und alle z  ∈  Z gilt tr_z(u)  ∈  U + Z und tr_z ∘ sp₀ (u) = tr_z(− u)  ∈  U + Z.

Wir setzen nun:

T = H − „der von U und Z erzeugte Unterraum von ℝ“.

Dann ist T überabzählbar, und für alle x, y  ∈  T mit x ≠ y gilt:

(GU + x) ∩ (GU + y) ⊆ ((U + Z) + x) ∩ ((U + Z) + y) = ∅.

Korollar (ℝ als abzählbare Vereinigung von C-verschiebbaren Mengen)

Es existieren U_n ⊆ ℝ, n  ∈  ℕ, mit:

(i)	ℝ = ⋃_{n  ∈  ℕ} U_n,

(ii)	U_n ist C-verschiebbar für alle n  ∈  ℕ.

Beweis

Sei H eine Hamelbasis des ℚ-Vektorraumes ℝ.

Sei g : H × ℕ → H bijektiv (g existiert wegen |H × ℕ| = |ℝ × ℕ| = |ℝ|).

Für n  ∈  ℕ sei H_n = g″(H × { 0, …, n }).

Weiter sei U_n der von H_n erzeugte Unterraum des ℚ-Vektorraumes ℝ.

Dann sind die Mengen U_n, n  ∈  ℕ, wie gewünscht.

Wir können unsere Ergebnisse so interpretieren: C-verschiebbare Mengen sind Nullmengen im Sinne von Hyper-Lebesgue-Maßen, aber sie sind nicht klein im Sinne eines σ-Ideals auf ℝ, da ℝ in abzählbar viele C-verschiebbare Mengen zerfällt. Damit erhalten wir den Satz von Ciesielski und Pelc:

Korollar (Nichtexistenz eines maximalen Hyper-Lebesgue-Maßes auf ℝ)

Ist μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ] ein Hyper-Lebesgue-Maß auf ℝ, so existiert ein C-verschiebbares U ⊆ ℝ mit U  ∉  𝒜.

Folglich existiert kein maximales Hyper-Lebesgue-Maß auf ℝ.

Beweis

Seien U_n, n  ∈  ℕ, wie im Korollar oben. Dann existiert wegen der σ-Additivität von μ ein m mit U_m  ∉  𝒜, da ⋃_{n  ∈  ℕ} U_n = ℝ und μ(U) = 0 für alle C-verschiebbaren U  ∈  𝒜 gilt.

Der Zusatz folgt aus dem Erweiterungssatz oben.

Der Beweis wird für höhere Dimensionen k ≥ 2 analog geführt, wobei nun an die Stelle von Hamelbasen sog. Transzendenzbasen von ℝ (über ℚ) treten. Eine Transzendenzbasis von ℝ ist dabei eine maximale algebraisch unabhängige Teilmenge von ℝ; hierbei wiederum heißt ein A ⊆ ℝ algebraisch unabhängig (über ℚ), falls P(x₁, …, x_n) ≠ 0 für alle paarweise verschiedenen x₁, …, x_n  ∈  A und alle nichttrivialen Polynome P in n Variablen mit Koeffizienten in ℚ gilt. Die Existenz einer Transzendenzbasis zeigt man mit Hilfe eines Maximalprinzips.

Für k ≥ 2 involvieren Anwendungen von Isometrien komplexere Matrizenmultiplikationen, und für Unterräume U des ℚ-Vektorraumes ℝ^k gilt Ax  ∈  U in der Regel nicht, wenn x  ∈  U gilt. Daher werden stärkere multiplikative Abgeschlossenheitseigenschaften notwendig. Wir arbeiten also mit einer Transzendenzbasis H von ℝ über ℚ statt mit einer Hamelbasis. Für ein A ⊆ ℝ sei c(A) der algebraische Abschluss des von A erzeugten Unterkörpers von ℝ (diese Abschlüsse übernehmen die Rolle der Unterräume im eindimensionalen Fall). Sei nun k ≥ 2 fest. Wie im Satz oben sei H₀ ⊆ H derart, dass H − H₀ überabzählbar ist. Sei U = c(H₀). Wir zeigen, dass U^k ⊆ ℝ^k C-verschiebbar ist. Sei hierzu G ⊆ ℐ_k abzählbar. Sei Z die abzählbare Menge aller Einträge der in G = { tr_z ∘ f_A | gewisse z  ∈  ℝ^k und Matrizen A  ∈  Mat_k } auftauchenden Translationsvektoren und Matrizen. Die gesuchte überabzählbare Translationsmenge T wird definiert durch T = H − c(U ∪ Z), wobei wir hier ein x  ∈  ℝ als die Translation im ℝ^k um den Vektor (x, 0, …, 0)  ∈  ℝ^k auffassen, also Translationen im ℝ^k entlang der x-Achse erhalten. Dies zeigt obigen Satz. Wie im Korollar werden dann die Mengen H_n definiert und wir setzen U_n = c(H_n)^k für n ≥ 0. Ansonsten bleibt das Argument gleich.

Die Suche nach einem nicht mehr bewegungsinvariant fortsetzbaren σ-additiven Volumenmaß für die Euklidischen Räume ist also vergeblich. Ist μ ein solches Maß, so wählen wir eine Ausschöpfung von ℝ^k in C-verschiebbare Mengen U₀ ⊆ U₁ ⊆ … ⊆ U_n ⊆ … Wir können dann U₀, U₁, … nach dem Erweiterungssatz schrittweise zu μ hinzufügen, und erhalten so Volumenmaße μ_n, n  ∈  ℕ, mit μ_n(U_n) = 0 für alle n  ∈  ℕ. Die Reihe dieser Maße terminiert nicht, denn wir fügen in diesem Prozess unendlich oft eine neue − bislang nicht messbare − Nullmenge U_n hinzu.

Die zentrale Rolle der Translationen im obigen Argument ist augenfällig. Analysiert man den Beweis, so ergibt sich folgendes stärkere Resultat:

Satz (Satz von Ciesielski und Pelc, starke Form)

Sei k ≥ 1, und sei G eine Untergruppe von ℐ_k mit G ⊇ { tr_z | z  ∈  ℝ^k }.

Dann besitzt jedes G-invariante σ-finite Maß μ : 𝒜 → [ 0, ∞ ], das auf einer G-invarianten σ-Algebra 𝒜 des ℝ^k definiert ist, eine echte Fortsetzung mit eben diesen Eigenschaften.

Wir verweisen den Leser auf den Übersichtsartikel [ Zakrzewski 2002 ] für weitere Untersuchungen in diesem Umfeld (etwa der Charakterisierung der Untergruppen G ⊆ ℐ_k, für die der Fortsetzungssatz gültig ist).