Die Borel-Hierarchie

Für einen topologischen Raum 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 setzt man:

ℬ(𝒳) = σ(𝒰) = ⋂ { 𝒜 | 𝒜 ist eine σ-Algebra auf X mit 𝒰 ⊆ 𝒜 }.

ℬ(𝒳) heißt die σ-Algebra der Borel-Mengen von 𝒳 oder die Borelsche σ-Algebra auf X. ℬ(𝒳) ist die kleinste σ-Algebra auf X, die die offenen Mengen enthält. Diese Algebra existiert immer, da der Schnitt von σ-Algebren auf X wieder eine σ-Algebra auf X ist (und da ℘(X) eine σ-Algebra 𝒜 auf X ist mit 𝒰 ⊆ 𝒜). Die Komplexität und innere Natur der Borelschen σ-Algebra wird durch diese Schnittdefinition „von oben“ nicht besonders deutlich.

Der Leser vergleiche die beiden Darstellungen des von zwei Vektoren u, v im ℝ³ erzeugten Untervektorraumes U als

U = ⋂ { V ⊆ ℝ³ \| V ist ein Unterraum von ℝ³ mit u, v  ∈  V },	„von oben“
U = { λu + μv \| λ, μ  ∈  ℝ }.	„von unten“

Die zweite Darstellung vermittelt durch ihre bloße Form ein Bild davon, wie U aussieht. In komplizierteren Beispielen verläuft eine Definition „von unten“ rekursiv: Wir sammeln schrittweise immer mehr Objekte, bis die Gesamtheit der gesammelten Objekte die gewünschten Reichhaltigkeitseigenschaften hat.

Wir werden die Borel-Mengen eines metrisierbaren Raumes nun in einer Hierarchie der Länge ω₁ anordnen und so ein sehr klares Bild dieser σ-Algebra erhalten. Startend mit den offenen Mengen bilden wir durch die Operationen „Komplement, abzählbarer Schnitt, abzählbare Vereinigung“ immer kompliziertere Mengen. Die offenen und abgeschlossenen und weiter dann die F_σ- und G_δ-Mengen des Raumes nehmen so die ersten Stufen der Hierarchie ein. Wir werden zeigen, dass wir für jeden metrisierbaren Raum durch ω₁-viele Iterationen der drei Operationen zur Borelschen σ-Algebra des Raumes gelangen können − und dass weniger als ω₁-viele Schritte i. A. nicht genügen.

Die Voraussetzung der Metrisierbarkeit des Raumes garantiert gute Inklusionseigenschaften der Hierarchie. Wichtig ist die folgende einfache Beobachtung (der wir im zweiten Kapitel schon begegnet sind):

Übung

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer topologischer Raum. Dann ist jede offene Menge eine F_σ-Menge (und jede abgeschlossene Menge eine G_δ-Menge).

[ Sei U  ∈  𝒰. Für U = X ist die Aussage klar. Sei also U ≠ X. Wir setzen wieder:

d(x, X − U) = inf({ d(x, y) \| y  ∉  U })	für alle x  ∈  X, und weiter
A_n = { x  ∈  U \| d(x, X − U) ≥ 1/2ⁿ }	für alle n  ∈  ℕ.

Dann sind alle A_n abgeschlossen und es gilt U = ⋃_{n  ∈  ℕ} A_n. ]

Es ist nützlich, für die drei genannten Operationen eine kompakte Notation zur Verfügung zu haben.

Definition (𝒜_σ , 𝒜_δ , 𝒜_c)

Sei X eine Menge, und sei 𝒜 ⊆ ℘(X). Dann setzen wir:

𝒜_σ	= { ⋃ ℬ	\| ℬ ⊆ 𝒜 ist abzählbar },
𝒜_δ	= { ⋂ ℬ	\| ℬ ⊆ 𝒜 ist abzählbar },
𝒜_c	= { X − P	\| P  ∈  𝒜 }.

Wir verwenden hier die Konvention ⋂ ∅ = X. Auch 𝒜_c ist nur sinnvoll, wenn das betrachtete „Ganze“ X aus dem Kontext heraus klar ist.

Diese Notationen wurden von Hausdorff eingeführt. Sie sind konsistent mit den vertrauten Sprechweisen „F_σ-Menge“ und „G_δ-Menge“: Traditionell setzt man F = { P ⊆ X | P ist abgeschlossen } und G = { P ⊆ X | P ist offen }. Die Buchstaben F und G stehen hier für „fermé“ bzw. für „Gebiet“.

Für alle 𝒜 ⊆ ℘(X) gilt: (𝒜_c)_c = 𝒜, (𝒜_σ)_σ = 𝒜_σ, (𝒜_δ)_δ = 𝒜_δ. Weiter ist 𝒜 genau dann eine σ-Algebra auf X, wenn 𝒜_σ = 𝒜_δ = 𝒜_c = 𝒜 gilt.

Wir können nun die Borel-Hierarchie sehr ansprechend definieren: Wir iterieren die σ-δ-c-Operationen ω₁-oft, beginnend mit den offenen bzw. abgeschlossenen Mengen eines metrisierbaren Raumes. Ziel ist, einen Zustand zu erreichen, an welchem die drei Operationen keine neuen Mengen mehr erzeugen. Es ist an dieser Stelle nicht klar, dass ein überabzählbar langer transfiniter Weg nötig ist, um dieses Ziel zu erreichen.

Definition (Borel-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer topologischer Raum.

Dann definieren wir durch Rekursion über 1 ≤ α < ω₁:

Σ⁰₁(𝒳)	= 𝒰,
Π⁰₁(𝒳)	= 𝒰_c = { A ⊆ X \| A abgeschlossen },
Σ⁰_α(𝒳)	= (⋃_{1 ≤ β < α} Π⁰_β(𝒳))_σ für α ≥ 2,
Π⁰_α(𝒳)	= (⋃_{1 ≤ β < α} Σ⁰_β(𝒳))_δ für α ≥ 2.

Die Folge 〈 Σ⁰_α(𝒳), Π⁰_α(𝒳) | 1 ≤ α < ω₁ 〉 heißt die Borel-Hierarchie von 𝒳.

Weiter setzen wir für 1 ≤ α < ω₁:

Δ⁰_α(𝒳)

= Σ⁰_α(𝒳) ∩ Π⁰_α(𝒳).

Diese Definition findet sich in [ Hausdorff 1914 ] (wobei Hausdorff die transfinite Länge des Prozesses zunächst nicht klar herausstellt). Die Begriffsbildung bringt insgesamt Ideen von Borel, Baire, Young, Lebesgue und Hausdorff zum Ausdruck.

Die Σ-Π-Notation stammt aus der mathematischen Logik und wurde erst später eingeführt. Ihr Ursprung erklärt, warum wir bei α = 1 starten und nicht wie sonst üblich bei α = 0.

Mit den klassischen Bezeichnungen gilt also (mit 𝒜_{σ, δ} = (𝒜_σ)_δ usw.):

Σ⁰₁ = G, Π⁰₁ = F, Σ⁰₂ = F_σ, Π⁰₂ = G_δ, Σ⁰₃ = G_{δ, σ}, Π⁰₃ = F_{σ, δ}, usw.

Ist z. B. U_{i, j, k} offen und A_i, j, k abgeschlossen in X für alle i, j, k  ∈  ℕ, so gilt für

P	= ⋂_{i  ∈  ℕ} ⋃_{j  ∈  ℕ} ⋂_{k  ∈  ℕ} U_{i, j, k},	Q	= ⋃_{i  ∈  ℕ} ⋂_{j  ∈  ℕ} ⋃_{k  ∈  ℕ} A_{i, j, k},
R	= ⋂_{i  ∈  ℕ} ⋃_{j  ∈  ℕ} ⋂_{k  ∈  ℕ} A_{i, j, k},	S	= ⋃_{i  ∈  ℕ} ⋂_{j  ∈  ℕ} ⋃_{k  ∈  ℕ} U_{i, j, k},

dass P  ∈  Π⁰₄(𝒳), Q  ∈  Σ⁰₄(𝒳), R  ∈  Π⁰₃(𝒳), S  ∈  Σ⁰₃(𝒳). Anhand derartiger Darstellungen kann man die Komplexität einer Menge endlicher Borel-Komplexität oft nach oben abschätzen, indem man zählt, wie oft Schnitte und Vereinigungen abwechseln, und offenen und abgeschlossenen Mengen die Grundkomplexität 1 zuweist (es gilt auch R  ∈  Π⁰₄(𝒳) und S  ∈  Σ⁰₄(𝒳), wobei man dann die Komplexität von R und S überschätzt). Ein Schnitt zu Beginn führt immer zu einem „Π“, eine Vereinigung immer zu einem „Σ“. Einige Beispiele für Komplexitätsberechnungen sind:

Übung

(a)	Sei g  : ℝ → ℝ eine Funktion, und sei P = { x  ∈  ℝ \| g ist stetig in x }. Dann ist P  ∈  Π⁰₂(ℝ) (unter der üblichen Topologie auf ℝ).

(b)	Sei P = { f  ∈  𝒩 \| f (n) = 0 unendlich oft }. Dann ist P  ∈  Π⁰₂(𝒩) − Σ⁰₂(𝒩).

(c)	Seien a, b  ∈  ℝ mit a < b. Wir setzen: X = { f : [ a, b ] → ℝ \| f ist stetig }, P = { f  ∈  X \| die erste Ableitung von f existiert auf ganz [ a, b ] }. Wir versehen X mit der von der Supremumsnorm erzeugten Topologie 𝒰. Dann ist P  ∈  Π⁰₃(〈 X, 𝒰 〉).

Wir stellen im folgenden Satz einige häufig verwendete Merkmale der Borel-Architektur zusammen.

Satz (einfache Eigenschaften der Borel-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum.

Dann gilt für alle 1 ≤ α < ω₁:

(i)	Σ⁰_α(𝒳) ∪ Π⁰_α(𝒳) ⊆ Δ⁰_α + 1(𝒳).

(ii)	Π⁰_α(𝒳) = Σ⁰_α(𝒳)_c , Π⁰_α + 1(𝒳) = Σ⁰_α(𝒳)_δ , Σ⁰_α + 1(𝒳) = Π⁰_α(𝒳)_σ , Δ⁰_α(𝒳) = Δ⁰_α(𝒳)_c .

(iii)

Σ⁰_α(𝒳) ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen und endlichen Schnitten. Dual ist Π⁰_α(𝒳) abgeschlossen unter abzählbaren Schnitten und endlichen Vereinigungen.

Der Beweis dieses Satzes ist eine einfache Induktion nach α (mit 1 ≤ α < ω₁). Nach der Übung oben gilt z. B. Σ⁰₁(𝒳) ⊆ Σ⁰₂(𝒳), also Σ⁰₁(𝒳) ⊆ Δ⁰₂(𝒳), da offenbar auch Σ⁰₁(𝒳) ⊆ Σ⁰₁(𝒳)_δ = Π⁰₂(𝒳).

Die Urbilder offener Mengen unter stetigen Funktionen sind nach Definition der Stetigkeit offen. Der folgende Satz verallgemeinert diese Aussage.

Satz (Komplexität von stetigen Urbildern)

Seien 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 und 𝒴 = 〈 Y, 𝒱 〉 metrisierbare Räume, und sei g  : X → Y stetig. Dann gilt für alle 1 ≤ α < ω₁:

(i)	{ g⁻¹″ P \| P  ∈  Σ⁰_α(𝒴) } ⊆ Σ⁰_α(𝒳),

(ii)	{ g⁻¹″ P \| P  ∈  Π⁰_α(𝒴) } ⊆ Π⁰_α(𝒳).

Der Komplexitätsgrad des Urbildes einer Borel-Menge P unter einer stetigen Funktion ist also höchstens so groß wie der Komplexitätsgrad von P. Der Beweis ist eine einfache Induktion nach α unter Verwendung der guten Eigenschaften der Urbildoperation, etwa der Gleichung g⁻¹″ ⋂ ℬ = ⋂ { g⁻¹″ B | B  ∈  ℬ } für alle ℬ ⊆ ℘(Y), die für die Bildoperation i. A. nicht gilt.

Wir zeigen nun, dass die „von unten“ definierte Borel-Hierarchie genau die „von oben“ definierte Borelsche σ-Algebra ausschöpft:

Satz (Ausschöpfung der Borel-Mengen durch die Borel-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum. Dann gilt:

ℬ(𝒳) = ⋃_{1 ≤ α < ω₁} Σ⁰_α(𝒳) ∪ Π⁰_α(𝒳).

Beweis

Sei ℬ = ℬ(𝒳) und sei

ℬ′ = ⋃_{1 ≤ α < ω₁} Σ⁰_α(𝒳) ∪ Π⁰_α(𝒳).

ℬ′ ⊆ ℬ: ℬ ist eine σ-Algebra mit Σ⁰₁ = 𝒰 ⊆ ℬ. Für 𝒜 ⊆ ℬ ist also 𝒜_σ, 𝒜_δ, 𝒜_c ⊆ ℬ. Durch Induktion über 1 ≤ α < ω₁ folgt dann, dass Σ⁰_α(𝒳), Π⁰_α(𝒳) ⊆ ℬ. Also ist ℬ′ ⊆ ℬ.

ℬ ⊆ ℬ′: Es gilt 𝒰 = Σ⁰₁ ⊆ ℬ′. Es genügt also zu zeigen, dass ℬ′ eine σ-Algebra ist. Wegen Π⁰_α(𝒳)_c = Σ⁰_α(𝒳) für 1 ≤ α < ω₁ ist ℬ′ abgeschlossen unter Komplementbildung. Sei also 𝒜 ⊆ ℬ′ abzählbar. Für P  ∈  𝒜 sei

α(P) = „das kleinste α mit P  ∈  Δ⁰_α“.

Dann ist β = sup({ α(P) | P  ∈  𝒜 }) < ω₁ wegen 𝒜 abzählbar.

Also ist ⋃ 𝒜  ∈  Σ⁰_β(𝒳) ⊆ ℬ′ und ⋂ 𝒜  ∈  Π⁰_β(𝒳) ⊆ ℬ′.

Als Korollar zum obigen Satz über die Komplexität von Urbildern erhalten wir: Die Urbilder von Borel-Mengen unter stetigen Funktionen sind Borel-Mengen.

Wir betrachten schließlich noch die Borel-Hierarchie einer Relativ- und einer Produkttopologie.

Übung

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum, und sei Y ⊆ X.

Sei 𝒴 = 〈 Y, 𝒰|Y 〉. Dann gilt für alle 1 ≤ α < ω₁:

(i)	Σ⁰_α(𝒴)	⊇ Σ⁰_α(𝒳)\|Y (= { Z ∩ Y \| Z  ∈  Σ⁰_α(𝒳) }),
(ii)	Π⁰_α(𝒴)	⊇ Π⁰_α(𝒳)\|Y.

Ist Y abgeschlossen in X, so gilt Gleichheit in (ii) für α ≥ 1 und Gleichheit in (i) für α ≥ 2. Analoges gilt für Y offen in X. Insbesondere gilt also Gleichheit für alle 1 ≤ α < ω₁, falls Y offen und abgeschlossen in X ist.

Übung

Seien 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉, 𝒴 = 〈 Y, 𝒱 〉 metrisierbare topologische Räume, und seien A  ∈  Σ⁰_α(𝒳), B  ∈  Σ⁰_α(𝒴), C  ∈  Π⁰_α(𝒳), D  ∈  Π⁰_α(𝒴) für ein 1 ≤ α < ω₁.

Dann gilt A × B  ∈  Σ⁰_α(𝒳 × 𝒴) und C × D  ∈  Π⁰_α(𝒳 × 𝒴).

Universelle Mengen

Wir zeigen, dass die Inklusionen der Borel-Hierarchie über einem polnischen Raum, der eine Kopie des Cantorraumes 𝒞 enthält, echt sind. Insbesondere werden also für ℝ, 𝒩, 𝒞 tatsächlich ω₁-viele Schritte benötigt, um ausgehend von den offenen Mengen durch iterierte Anwendung der σ-δ-c-Operationen die Borelsche σ-Algebra zu erzeugen.

Der Schlüssel zu diesem Resultat ist der Begriff einer universellen Menge.

Definition (universelle Mengen)

Seien X, Y Mengen, und sei U ⊆ X × Y. Weiter sei Γ ⊆ ℘(X).

U heißt universell für Γ (bzgl. Y), falls gilt:

Γ = { U^y | y  ∈  Y }, wobei U^y = { x | (x, y)  ∈  U } (die „y-Zeile“ von U).

Übung

Sei Γ ⊆ ℘(X), und sei U ⊆ X × Y universell für Γ.

Dann ist (X × Y) − U universell für Γ_c = ℘(X) − Γ.

Wir zeigen nun die Existenz gleichgradig komplexer universeller Mengen für die Stufen der Borel-Hierarchie. Der Cantorraum dient als „Zeilenspeicher“.

Satz (Existenz gleichgradig komplexer universeller Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒱 〉 ein separabler metrisierbarer Raum, und sei 1 ≤ α < ω₁.

Dann existiert eine Menge U ⊆ X × 𝒞 mit:

(i)	U  ∈  Σ⁰_α(X × 𝒞),

(ii)	U ist universell für Σ⁰_α(𝒳).

Eine analoge Aussage gilt für Π⁰_α(𝒳).

Der folgende Beweis ist im Grunde ein einfaches Jonglieren mit universellen Mengen auf den Stufen der Borel-Hierarchie. Wir führen die Argumente aber ausführlich aus, wodurch der Beweis länger erscheint, als er ist.

Beweis

Wir zeigen die Aussagen durch Induktion nach 1 ≤ α < ω₁.

Induktionsanfang α = 1 

Sei V₀, V₁, …, V_n, …, n  ∈  ℕ, eine Aufzählung einer Basis von 𝒳.

Für f  ∈  𝒞 sei dann V(f) = ⋃_{n  ∈  ℕ, f (n) = 1} V_n. Wir setzen:

U = { (x, f)  ∈  X × 𝒞 | x  ∈  V(f) }.

Dann gilt:

(+) U ist offen in X × 𝒞.

Beweis von (+)

Sei (x, f)  ∈  U, und sei n  ∈  ℕ derart, dass x  ∈  V_n und f (n) = 1 gilt.

Dann ist V_n × C_f|(n + 1) ⊆ U. Also ist U offen in X × 𝒞.

(++) U ist universell für 𝒱 = Σ⁰₁(𝒳).

Beweis von (++)

Sei V ⊆ X offen. Für n  ∈  ℕ sei

$f (n) = { \begin{matrix} 1 & falls V_{n} \subseteq V, \\ 0 & sonst. \end{matrix}$

Dann ist V = V(f) und damit

V = V(f) = { x  ∈  X | (x, f)  ∈  U } = U^f.

Also ist U universell für 𝒱.

Nach (+) und (++) ist U  ∈  Σ⁰₁(𝒳 × 𝒞) universell für Σ⁰₁(𝒳).

Weiter ist X × 𝒞 − U  ∈  Π⁰₁(𝒳 × 𝒞) universell für Π⁰₁(𝒳).

Induktionsschritt 1 < α < ω₁

Sei π : ℕ² → ℕ die Cantorsche Paarungsfunktion.

Für f  ∈  𝒞 und n  ∈  ℕ sei f ⁿ  ∈  𝒞 definiert durch

f ⁿ(m) = f(π(n, m)) für alle m  ∈  ℕ.

Seien α₀ ≤ α₁ ≤ … ≤ α_n ≤ …, n  ∈  ℕ, Ordinalzahlen mit

α = sup { α_n + 1 | n  ∈  ℕ }.

Nach Induktionsvoraussetzung existiert für alle n  ∈  ℕ ein U_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳 × 𝒞), das universell für Π⁰_{α_n}(𝒳) ist. Wir setzen:

U = { (x, f)  ∈  X × 𝒞 | (x, f ⁿ)  ∈  U_n für ein n  ∈  ℕ }.

Dann gilt:

(+) U  ∈  Σ⁰_α(𝒳 × 𝒞).

Beweis von (+)

Wir setzen P_n = { (x, f)  ∈  X × 𝒞 | (x, f ⁿ)  ∈  U_n } für alle n  ∈  ℕ.

Dann ist U = ⋃_{n  ∈  ℕ} P_n. Es genügt also zu zeigen, dass P_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳 × 𝒞) für alle n  ∈  ℕ.

Sei also n  ∈  ℕ. Wir setzen g(x, f) = (x, f ⁿ) für x  ∈  X, f  ∈  𝒞.

Dann ist g : X × 𝒞 → X × 𝒞 stetig, und es gilt:

P_n = g⁻¹″ U_n.

Aber U_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳 × 𝒞). Wegen g stetig also auch P_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳 × 𝒞).

(++) U ist universell für Σ⁰_α(𝒳).

Beweis von (++)

Sei Y  ∈  Σ⁰_α(𝒳). Dann existieren Y_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳), n  ∈  ℕ, mit

Y = ⋃_{n  ∈  ℕ} Y_n.

Wegen der Universalität der U_n existieren weiter f_n  ∈  𝒞 mit

Y_n = U_n^f_n = { x | (x, f_n)  ∈  U_n } für alle n  ∈  ℕ.

Sei f das Element von 𝒞 mit f(π(n, m)) = f_n(m) für alle n, m  ∈  ℕ.

Dann gilt f ⁿ = f_n für alle n  ∈  ℕ, und damit ist

Y = { x | x  ∈  Y_n für ein n  ∈  ℕ } = { x | (x, f ⁿ)  ∈  U_n für ein n  ∈  ℕ } = U^f.

Nach (+) und (++) ist U  ∈  Σ⁰_α(𝒳 × 𝒞) universell für Σ⁰_α(𝒳).

Weiter ist dann wieder X × 𝒞 − U  ∈  Π⁰_α(𝒳 × 𝒞) universell für Π⁰_α(𝒳).

Aus der Existenz gleichgradig komplexer universeller Mengen folgt nun durch eine einfache Diagonalisierung, dass an jeder Stufe der Borel-Hierarchie neue Mengen erzeugt werden. Wir zeigen dies zuerst für 𝒞 und dann durch eine Relativierung für allgemeinere Räume.

Satz (Diagonalisierung universeller Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum.

Sei 1 ≤ α < ω₁, und U  ∈  Σ⁰_α(𝒳 × 𝒳) sei universell für Σ⁰_α(𝒳). Wir setzen:

D = { x  ∈  X | (x, x)  ∈  U }.

Dann gilt D  ∈  Σ⁰_α(𝒳) und D  ∉  Π⁰_α(𝒳).

Beweis

zu D  ∈  Σ⁰_α(𝒳):

Sei g(x) = (x, x) für alle x  ∈  X.

Dann ist g  : X → X × X stetig, und es gilt D = g⁻¹″ U.

Wegen U  ∈  Σ⁰_α(𝒳 × 𝒳) ist also auch D  ∈  Σ⁰_α(𝒳).

zu D  ∉  Π⁰_α(𝒳):

Andernfalls ist X − D  ∈  Σ⁰_α(𝒳).

Wegen der Universalität von U existiert dann ein y  ∈  X mit

X − D = U^y = { x  ∈  X | (x, y)  ∈  U }.

Dann gilt aber:

y  ∈  D gdw (y, y)  ∈  U gdw y  ∈  U^y gdw y  ∈  X − D, Widerspruch.

Korollar (echte Inklusionen in der Borel-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum, der eine Kopie von 𝒞 enthält.

Dann gilt für alle 1 ≤ α < ω₁:

(i)	Σ⁰_α(𝒳) ≠ Π⁰_α(𝒳),

(ii)	Δ⁰_α(𝒳) ⊂ Σ⁰_α(𝒳), Π⁰_α(𝒳),

(iii)

Σ⁰_α(𝒳), Π⁰_α(𝒳) ⊂ Δ⁰_α + 1(𝒳).

Alle überabzählbaren polnischen Räume und alle Folgenräume ^ℕA mit |A| ≥ 2 sind Beispiele für Räume, die eine Kopie des Cantorraumes enthalten.

Beweis

zu (i): Der Einfachheit halber nehmen wir o. E. 𝒞 ⊆ X an.

Sei 2 ≤ α < ω₁. Dann gilt wegen 𝒞 abgeschlossen in 𝒳:

(+) Σ⁰_α(𝒞) = Σ⁰_α(𝒳)|𝒞 und Π⁰_α(𝒞) = Π⁰_α(𝒳)|𝒞.

Aber nach den beiden vorherigen Sätzen ist Σ⁰_α(𝒞) ≠ Π⁰_α(𝒞).

Insbesondere ist also auch Σ⁰_α(𝒳) ≠ Π⁰_α(𝒳).

Schließlich ist Σ⁰₁(𝒳) ≠ Π⁰₁(𝒳), da sonst 𝒞 offen und abgeschlossen in 𝒳 wäre und dann (+) (und folglich Σ⁰₁(𝒳) ≠ Π⁰₁(𝒳)) für α = 1 gelten würde.

zu (ii) und (iii): „⊆“ in den Aussagen ist klar.

Aus (i) folgt aber wegen Σ⁰_α(𝒳) = Π⁰_α(𝒳)_c, dass Σ⁰_α(𝒳) und Π⁰_α(𝒳) verschieden sind von allen Γ ⊆ ℘(X) mit Γ_c = Γ.

Aber es gilt Δ⁰_β(𝒳)_c = Δ⁰_β(𝒳) für alle 1 ≤ β < ω₁.

Schließlich gilt auch folgende echte Inklusion an den Limesstellen der Borel-Hierarchie:

Übung

Sei 𝒳 ein metrisierbarer Raum, der eine Kopie von 𝒞 enthält.

Dann gilt für alle Limesordinalzahlen λ < ω₁:

⋃_{1 ≤ α < λ} Σ⁰_α(𝒳) = ⋃_{1 ≤ α < λ} Π⁰_α(𝒳) ⊂ Δ⁰_λ(𝒳).

Damit ergibt sich für einen metrisierbaren Raum 𝒳 das folgende Bild für die Mengen Σ⁰_α(𝒳), Π⁰_α(𝒳) und Δ⁰_α(𝒳), wobei wir 𝒳 weglassen:

α durchläuft alle abzählbaren Ordinalzahlen. Mengen, die in diesem Diagramm weiter links stehen, sind in allen Mengen, die weiter rechts stehen, enthalten. Enthält 𝒳 eine Kopie des Cantorraumes, so sind alle Inklusionen echt. Die Vereinigung der Mengen des Diagramms bildet die Borel-σ-Algebra ℬ(𝒳).

Die Baire-Hierarchie

Wir diskutieren noch eine natürliche Hierarchie der Länge ω₁ für reellwertige Funktionen, die Baire bereits 1899 eingeführt hat.

Definition (Baire-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum.

Dann definieren wir durch Rekursion über α < ω₁:

Baire₀(𝒳, ℝ)	= { f \| f : X → ℝ ist stetig },
Baire_α(𝒳, ℝ)	= { f \| f ist der punktweise Limes einer Folge 〈 f_n \| n  ∈  ℕ 〉 mit f_n  ∈  ⋃_β < α Baire_β(𝒳, ℝ) für alle n  ∈  ℕ } für 1 ≤ α < ω₁.

Die Folge 〈 Baire_α(𝒳, ℝ) | α < ω₁ 〉 heißt die Baire-Hierarchie von 𝒳 (bzgl. ℝ).

Wir setzen weiter:

Baire_ω₁(𝒳, ℝ) = Baire(𝒳, ℝ) = ⋃_α < ω₁ Baire_α(𝒳, ℝ).

Die Menge Baire_ω₁(𝒳, ℝ) ist abgeschlossen unter punktweisen Limiten. Zur Reichhaltigkeit der Funktionenmengen dieser Hierarchie beobachten wir:

Satz

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum, und sei α ≤ ω₁.

Dann ist Baire_α(𝒳, ℝ) ein Untervektorraum des reellen Vektorraumes V = { f | f : X → ℝ }.

Beweis

Wir zeigen die Aussage durch Induktion nach α < ω₁.

Hieraus folgt dann die Behauptung über Baire_ω₁(𝒳, ℝ).

Induktionsanfang α = 0:

Bekanntlich sind die stetigen Funktionen von X nach ℝ ein Untervektorraum von V.

Induktionsschritt 1 ≤ α < ω₁:

Seien f, g  ∈  Baire_α(𝒳), und seien f_n, g_n  ∈  ⋃_β < α Baire_β(𝒳, ℝ) für alle n  ∈  ℕ mit

f = lim_n → ∞ f_n, g = lim_n → ℕ g_n (punktweise).

Dann gilt für alle λ, μ  ∈  ℝ:

λ f + μ g = lim_n → ∞ (λ f_n + μ g_n) (punktweise).

Also ist λ f + μ g  ∈  Baire_α(𝒳).

Die Baire-Hierarchie stellt sich nun als eine Organisation einer Funktionenmenge heraus, die in der heutigen Mathematik an vielen Stellen eine Rolle spielt:

Definition (𝒜-messbare und Borel-messbare Funktionen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum, und sei 𝒜 ⊆ ℘(X).

Eine Funktion f : X → ℝ heißt 𝒜-messbar, falls gilt:

f ⁻¹″ U   ∈  𝒜 für alle U  ∈  𝒰.

f heißt Borel-messbar, falls f ℬ(𝒳)-messbar ist. Wir setzen:

ℬ(𝒳, ℝ) = { f : X → ℝ | f ist Borel-messbar }.

Übung

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum, und sei f  : X → ℝ Borel-messbar.

Dann existiert ein α < ω₁ mit: f ist Σ⁰_α-messbar.

[ Sei U_n, n  ∈  ℕ, eine Basis der Topologie auf ℝ. Für n  ∈  ℕ sei

α_n = „das kleinste α mit f ⁻¹″ U_n  ∈  Σ⁰_α(𝒳)“.

Sei weiter α* = sup_{n  ∈  ℕ} α_n. Dann ist α* < ω₁ und f ist Σ⁰_α*(𝒳)-messbar:

Denn sei N ⊆ ℕ und U = ⋃_{n  ∈  N} U_n. Σ⁰_α*(𝒳) ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen und folglich ist f ⁻¹″ U = ⋃_{n  ∈  ℕ} f ⁻¹″ U_n  ∈  Σ⁰_α*(𝒳). ]

Die Stetigkeit von f : X → ℝ ist gleichwertig zur Σ⁰₁-Messbarkeit. Die Abschwächung dieser Bedingung zur Borel-Messbarkeit entspricht nun genau der Abschwächung der Stetigkeit durch iterierte punktweise Limesbildung:

Satz (Ausschöpfung der Borel-messbaren Funktionen durch die Baire-Hierarchie)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein metrisierbarer Raum.

Dann gilt ℬ(𝒳, ℝ) = Baire(𝒳, ℝ).

Beweis

zu ⊆: Wir zeigen zunächst durch Induktion nach 1 ≤ α < ω₁:

(+) Für alle A  ∈  Σ⁰_α(𝒳) ∪ Π⁰_α(𝒳) ist ind_A  ∈  Baire_α(𝒳, ℝ).

Induktionsanfang α = 1, A  ∈  Σ⁰₁(𝒳)

Sei also A ⊆ X offen. Seien A_n, n  ∈  ℕ, abgeschlossen mit

A = ⋃_{n  ∈  ℕ} A_n, A₀ ⊆ A₁ ⊆ … ⊆ A_n ⊆ …

Für n  ∈  ℕ sei f_n : X → [ 0, 1 ] eine stetige Funktion mit:

$f_{n} (x) = { \begin{matrix} 1 & falls x \in A_{n}, \\ 0 & falls x \notin A, \end{matrix}$

(Solche f_n existieren nach dem Ausdehnungssatz von Urysohn.)

Dann gilt ind_A = lim_n → ∞ f_n   ∈  Baire₁(𝒳, ℝ).

Induktionsschritt 1 ≤ α < ω₁, A  ∈  Π⁰_α(𝒳)

Nach I. V. für Σ⁰_α(𝒳) ist ind_X − A  ∈  Baire_α(𝒳, ℝ). Dann ist aber auch

ind_A = ind_X − ind_X − A   ∈  Baire_α(𝒳, ℝ),

da ind_X  ∈  Baire_α(𝒳, ℝ) und Baire_α(𝒳, ℝ) ein Vektorraum ist.

Induktionsschritt 2 ≤ α < ω₁, A  ∈  Σ⁰_α(𝒳)

Seien α_n < α und A_n  ∈  Π⁰_{α_n}(𝒳) für n  ∈  ℕ paarweise disjunkt derart, dass α₀ ≤ α₁ ≤ … ≤ α_n ≤ …, n  ∈  ℕ, und A = ⋃_{n  ∈  ℕ} A_n. Sei

f_n = ∑_{i ≤ n} ind_{A_i} für n  ∈  ℕ.

Nach I.V. ist f_n  ∈  Baire_{α_n}(𝒳, ℝ) für alle n  ∈  ℕ. Dann ist aber

ind_A = lim_n → ∞ f_n   ∈  Baire_α(𝒳, ℝ).

Sei nun f : X → ℝ Borel-messbar. Für n  ∈  ℕ und i  ∈  ℤ sei

A_{n, i}	= f ⁻¹″ [ i/2ⁿ, (i + 1)/2ⁿ [,
f_n	= ∑_{− n · 2ⁿ ≤ i < n · 2ⁿ} i/2ⁿ ind_{A_{n, i}}.

Nach (+) ist ind_{A_{n, i}}  ∈  Baire(𝒳, ℝ) für alle n  ∈  ℕ.

Also gilt f = lim_n → ∞ f_n  ∈  Baire(𝒳, ℝ).

zu ⊇: Es ist leicht zu sehen, dass die Borel-messbaren Funktionen abgeschlossen unter punktweisen Limiten sind.

Weiter ist jede stetige Funktion Borel-messbar.

Damit folgt induktiv, dass Baire_α(𝒳, ℝ) ⊆ ℬ(X, ℝ) für alle α < ω₁.

Der Beweis zeigt de facto: Ist f  : X → ℝ Σ⁰_α(𝒳)-messbar, so ist f  ∈  Baire_α + 1(𝒳, ℝ). Man kann den Index verbessern und auch eine Umkehrung zeigen. Es gilt nämlich folgender Satz von Hausdorff: Für alle α ≥ 1 ist ein f  : X → ℝ genau dann Σ⁰_α + 1(𝒳)-messbar, wenn f  ∈  Baire_α(𝒳, ℝ) (die Äquivalenz erweitert den offensichtlichen Fall α = 0). Siehe etwa [ Kechris 1994 ] für einen Beweis.

Übung

Definition (𝒜σ , 𝒜δ , 𝒜c)

Definition (Borel-Hierarchie)

Übung

Satz (einfache Eigenschaften der Borel-Hierarchie)

Satz (Komplexität von stetigen Urbildern)

Satz (Ausschöpfung der Borel-Mengen durch die Borel-Hierarchie)

Beweis

Übung

Übung

Universelle Mengen

Definition (universelle Mengen)

Übung

Satz (Existenz gleichgradig komplexer universeller Mengen)

Beweis

Satz (Diagonalisierung universeller Mengen)

Beweis

Korollar (echte Inklusionen in der Borel-Hierarchie)

Beweis

Übung

Die Baire-Hierarchie

Definition (Baire-Hierarchie)

Satz

Beweis

Definition (𝒜-messbare und Borel-messbare Funktionen)

Übung

Satz (Ausschöpfung der Borel-messbaren Funktionen durch die Baire-Hierarchie)

Beweis

Definition (𝒜_σ , 𝒜_δ , 𝒜_c)