Regularitätseigenschaften analytischer Mengen

Wir zeigen, dass die analytischen Teilmengen in polnischen Räumen die Scheeffer-Eigenschaft besitzen und Baire- und Lebesgue-messbar sind. Für die Messbarkeitsbegriffe erhalten wir de facto sogar ein stärkeres Ergebnis.

Wir beginnen mit der Scheeffer-Eigenschaft.

Satz (Scheeffer-Eigenschaft für analytische Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum, und sei A ⊆ X analytisch in 𝒳.

Dann hat A die Scheeffer-Eigenschaft.

Beweis

Sei A überabzählbar. Wir zeigen, dass A eine Kopie von 𝒞 enthält.

Sei g : 𝒩 → X stetig mit A = rng(g). Wir setzen:

T = { s  ∈  Seq | g″N_s ist überabzählbar }.

Wegen g″N_s ⊆ g″N_t für alle s, t  ∈  Seq mit t ≤ s ist T ein Baum.

Für alle s  ∈  T ist g″N_s = ⋃_{i  ∈  ℕ} g″N_si überabzählbar, also existiert ein i  ∈  ℕ mit g″N_si überabzählbar, d. h. si  ∈  T. Also ist T blattfrei.

Für alle s  ∈  T ist g″[ T_s ] = g″([ T ] ∩ N_s) überabzählbar, denn M = ⋃_{s  ∈  Seq − T} g″N_s ist abzählbar und g″[ T_s ] ⊇ g″N_s − M.

Für alle s  ∈  T existieren zudem s₀, s₁  ∈  T mit:

(+) s < s₀, s₁ und g″[ T_s₀ ] ∩ g″[ T_s₁ ] = ∅.

Beweis von (+)

Wegen g″[ T_s ] überabzählbar existieren f₀, f₁  ∈  [ T_s ] mit g(f₀) ≠ g(f₁).

Seien U₀, U₁ offen in X mit g(f₀)  ∈  U₀, g(f₁)  ∈  U₁ und U₀ ∩ U₁ = ∅.

Wegen g|[ T ] : [ T ] → X stetig existieren s₀ < f₀ und s₁ < f₁ mit g″[ T_s₀ ] ⊆ U₀ und g″[ T_s₁ ] ⊆ U₁. Dann sind s₀ und s₁ wie gewünscht.

Mit (+) können wir dann aber rekursiv 〈 s_t | t  ∈  Seq₂ 〉 definieren, sodass für alle t  ∈  Seq₂ gilt:

(i)	s_{〈   〉} = ∅,

(ii)	s_t  ∈  T,

(iii)

s_t < s_t0, s_t1,

(iv)	g″[ T_{s_t0} ] ∩ g″[ T_{s_t1} ] = ∅.

Sei S = { s  ∈  T | s ≤ s_t für ein t  ∈  Seq₂ }.

Dann ist [ S ] ⊆ 𝒩 homöomorph zu 𝒞. Wir setzen P = g″ [ S ].

Wegen (iv) ist g|[ S ] injektiv. Wegen g stetig ist also P ⊆ A nichtleer und perfekt in 𝒳 (und eine Kopie von 𝒞).

Damit ist das Kontinuumsproblem für die analytischen Mengen und insbesondere für die Borelmengen gelöst: Jede überabzählbare analytische Teilmenge eines polnischen Raumes hat die Mächtigkeit 2^ω der reellen Zahlen.

Obiger Satz über die Scheeffer-Eigenschaft ist innerhalb der klassischen Axiomatik ZFC bestmöglich: In Gödels L existiert eine überabzählbare koanalytische Menge, die keine nichtleere perfekte Teilmenge besitzt. Damit kann man auch nicht zeigen, dass die Mengen mit der Scheeffer-Eigenschaft abgeschlossen unter Komplementbildung sind.

Die Baire-Eigenschaft und die Messbarkeit für Borel-Maße behandeln wir in einem Zug. Entscheidend ist folgende von Marczewski entdeckte Bedingung, die garantiert, dass eine σ-Algebra abgeschlossen unter der Suslin-Operation ist:

Definition (überdeckende σ-Algebren)

Sei X eine Menge, und sei 𝒜 eine σ-Algebra auf X.

Ein A  ∈  𝒜 heißt eine Überdeckung eines P ⊆ X bzgl. 𝒜, falls gilt:

(i)

P ⊆ A,

(ii)	für alle B  ∈  𝒜 mit P ⊆ B ⊆ A ist ℘(A − B) ⊆ 𝒜.

𝒜 heißt überdeckend, falls alle P ⊆ X eine Überdeckung A  ∈  𝒜 besitzen.

Diese Bedingung, die scheinbar nichts mit der Suslin-Operation zu tun hat, genügt für folgenden allgemeinen Satz:

Satz (überdeckende σ-Algebren sind abgeschlossen unter der Suslin-Operation)

Sei X eine Menge, und sei 𝒜 eine überdeckende σ-Algebra auf X.

Dann ist 𝒜_Su ⊆ 𝒜.

Beweis

Sei 〈 P_s | s  ∈  Seq 〉 eine Folge in 𝒜 mit P_s ⊆ P_t für alle s ≥ t, und sei

A = ⋃_{f  ∈  𝒩} ⋂_{n  ∈  ℕ} P_f|n.

Für s  ∈  Seq definieren wir R_s ⊆ P_s durch:

R_s = ⋃_{f  ∈  𝒩, s < f} ⋂_{n  ∈  ℕ} P_f|n.

Dann gilt R_{〈   〉} = A und R_s = ⋃_{i  ∈  ℕ} R_si für alle s  ∈  Seq.

Für alle s  ∈  Seq sei R⁺_s  ∈  𝒜 eine Überdeckung von R_s bzgl. 𝒜 mit:

(a)	R⁺_si ⊆ R⁺_s	für alle s  ∈  Seq und i  ∈  ℕ,
(b)	R_s ⊆ R⁺_s ⊆ P_s	für alle s  ∈  Seq.

Wir setzen:

Q_s	= R⁺_s − ⋃_{i  ∈  ℕ} R⁺_si für s  ∈  Seq und weiter
Q	= ⋃_{s  ∈  Seq} Q_s.

Dann ist ℘(Q_s) ⊆ 𝒜 für alle s  ∈  Seq, denn R_s ⊆ ⋃_{i  ∈  ℕ} R⁺_si   ∈  𝒜.

Wegen 𝒜 σ-Algebra ist folglich auch ℘(Q) ⊆ 𝒜. Weiter gilt:

(+) R⁺_{〈   〉} − Q ⊆ R_{〈   〉}.

Beweis von (+)

Sei x  ∈  R⁺_{〈   〉} mit x  ∉  Q. Wir können dann rekursiv ein f  ∈  𝒩 definieren mit:

x  ∈  R⁺_f|n für alle n  ∈  ℕ.

Denn x  ∈  R⁺_{〈   〉} nach Voraussetzung, und für den Rekursionsschritt gilt:

Ist x  ∈  R⁺_s, so ist x  ∈  R⁺_si für ein i  ∈  ℕ, da sonst x  ∈  Q_s ⊆ Q.

Dann ist aber x  ∈  ⋂_{n  ∈  ℕ} R⁺_f|n ⊆ ⋂_{n  ∈  ℕ} P_f|n ⊆ R_{〈   〉}.

Nach (+) ist R⁺_{〈   〉} − R_{〈   〉} ⊆ Q und wegen ℘(Q) ⊆ 𝒜 gilt dann:

A = R_{〈   〉} = R⁺_{〈   〉} − (R⁺_{〈   〉} − R_{〈   〉})  ∈  𝒜.

Die beiden folgenden Sätze zeigen, dass unsere Standardbeispiele für reichhaltige σ-Algebren überdeckend sind:

Satz (Überdeckungseigenschaft für die Mengen mit der Baire-Eigenschaft)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum.

Dann ist Baire(𝒳) überdeckend.

Beweis

Sei 𝒰′ eine abzählbare Basis von 𝒰. Sei P ⊆ X, und sei

V = ⋃ { U  ∈  𝒰′ | U − (X − P) ist mager } = ⋃ { U  ∈  𝒰′ | U ∩ P ist mager }

der kanonische Bairesche Messversuch für X − P bzgl. 𝒰′ (vgl. Kapitel 5).

Dann ist V − (X − P) = V ∩ P mager, also ist

A = (X − V) ∪ P = (X − V) ∪ (V ∩ P)   ∈  Baire(𝒳).

A ist eine Überdeckung von P: Denn sei B  ∈  Baire(𝒳) mit P ⊆ B ⊆ A.

Dann ist A − B ⊆ (X − P) und (A − B) ∩ V = ∅, also A − B mager, und folglich ℘(A − B) ⊆ Baire(𝒳).

Denn sei U  ∈  𝒰′ mit U Δ (A − B) mager. Dann ist insbesondere U ∩ P mager, also U ⊆ V, also U ∩ (A − B) = ∅. Dann ist aber U = ∅. Also ist A − B mager.

Satz (Überdeckungseigenschaft für messbare Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum, und sei μ ein Borel-Maß auf 𝒳. Sei 𝒜(μ) = { P ⊆ X | P ist μ-messbar } die σ-Algebra der Vervollständigung von ℬ(𝒳) bzgl. μ.

Dann ist 𝒜(μ) überdeckend.

Beweis

Durch Skalierung von μ (ohne Veränderung der μ-messbaren Mengen) können wir o. E. annehmen, dass μ(X) < ∞.

Sei P ⊆ X, und sei

μ*(P) = inf({ μ(B) | B  ∈  ℬ(𝒳), P ⊆ B }).

Sei A  ∈  ℬ(𝒳) mit P ⊆ A und μ*(A) = μ(A).

Dann ist A  ∈  𝒜(μ) eine Überdeckung von P bzgl. 𝒜(μ):

Denn für B  ∈  𝒜(μ) mit P ⊆ B ⊆ A ist μ(A − B) = 0 (wegen μ(A) < ∞), also ℘(A − B) ⊆ 𝒜(μ).

Damit haben wir über den Umfang der Baire-Eigenschaft und der universell messbaren Mengen gezeigt:

Korollar (Umfang der Baire-Eigenschaft und der universell messbaren Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum. Dann sind die Teilmengen von X mit der Baire-Eigenschaft abgeschlossen unter der Suslin-Operation.

Ebenso sind die universell messbaren Teilmengen von X abgeschlossen unter der Suslin-Operation.

Insbesondere haben alle analytischen Teilmengen von X die Baire-Eigenschaft und sind universell messbar.

Wir setzen schließlich noch:

Definition (C-Mengen)

Sei 𝒳 = 〈 X, 𝒰 〉 ein polnischer Raum. Dann setzen wir:

C(𝒳) = ⋂ { 𝒜 | 𝒜 ⊇ 𝒰 ist eine σ-Algebra mit 𝒜_Su ⊆ 𝒜 }.

Die Elemente von C(𝒳) heißen C-Mengen in 𝒳.

C(𝒳) ist also die kleinste Erweiterung der Borel-Mengen von 𝒳, die abgeschlossen unter der Suslin-Operation ist.

Alle C-Mengen haben nach dem Korollar die Baire-Eigenschaft und sind universell messbar. Mit Hilfe universeller Mengen kann man für alle überabzählbaren polnischen Räume die folgenden echten Inklusionen beweisen:

σ({ A ⊆ X | A ist analytisch }) ⊂ { A ⊆ X | A ist koanalytisch }_Su ⊂ C(𝒳),

wobei die linke Menge die von den analytischen Mengen erzeugte σ-Algebra ist. Punktklassen, die noch umfangreicher als die C-Mengen sind, werden wir nun in den projektiven Mengen kennen lernen.